·54· 智能系统学报 第2卷 上标e和p分别代表内表面和外表面. 从式()和8)中可以看到，骨内部重建的控制 方程和表面重建的控制方程都可以表示为应变、电 2骨重建控制方程的解 场和磁场的方程.一旦外界载荷确定了，从式1)和 考虑一个受轴向压力P,径向压力p,电载荷丸 (8)就可以求得变量e(i,a,b、a(1,e,b和b(1,e,ad (and/or)和磁载荷(or/and)的中空的圆柱 的值.均匀骨材料的适应性重建的解析解己经得 状骨.柱状坐标系下压电磁固体的本构方程如下： 到9.20，但是这一解析解并不适用于非均匀的骨质 Om cu1 sm c2 so as s=e3i E:ds1 H:, 材料.因为解析解不能用于求解非均匀骨质材料的 Oa a2 Sm al sa a3s=-e31 E:d1 H:, 应变、电场和磁场.有研究表明：外加径向载荷会使 0=C13Sm +a3sm c33 5=-e33 E:-d53 H:, 骨组织变得非均匀.因而，采用基于状态空间法的半 dr=a4 s=r-es Er-as Hr, 解析解9.1来求解骨重建的控制方程 Dr eis Sar +K Er d Hr, 注意到，外加载荷产生的应变场、电场和磁场都 D:es (sm +sa)e33s=+K E:ds H:, 是与et,a,b、a(t,e,b和b(t,e,ad相关的.因而， Br=a5Sr+dE,+凸H,, 式(1)和式8)都是et,a,、a(t,e,b和bt,e,ad B:=as1 (smsm asss=z +ds E:H:. 的函数，它们之间是高度耦合的.其中一个变化都会 10) 引起另外一个量的改变.但是在先前的研究中，骨的 式中·、D,和B,分别是应力、电位移和磁感应强 内部重建和表面重建是相互独立的.也就是说，在研 度；cg是弹性模量；e是压电常数；a,是压磁常数；K 究骨内部重建时忽略表面重建的影响，反之亦然.在 是介电常数；d是磁电常数；4是磁渗透系数.而应 文中，首次将二者联合起来考虑，将着重考察二者相 变、电场和磁场分别与变形山、电势中和磁势中一一 互影响的程度！ 对应相联系，关系如下： 在数值模拟的时候，首先通过半解析解求得外 5n=M,5m=业，5=:,5=.,+, 载荷作用产生的应变场、电场和磁场，然后把这些量 r 代入骨重建的控制方程中，得到某一时刻骨重建的 E,=-中，E:=,中：，H,=-电，H=-电：. 速率.然后利用前进式的欧拉方法，得到下一时刻的 (11) e、a和b的值： 对于准静态状态，在没有体力、外加电势、磁势 =+ 16) 以及电流、磁场的情况下，式(10)可以通过式12)应 力、电位移和磁感应强度的平衡方程求解： =d+0X01 (17) 9+g+m-0 Or =8+0Xa1 (18) ++=0， Or r 同时，为了表示方便，文中引入如下无量纲变量 (12 dD:+D:+: 来表示骨内外表面半径的变化量： Or e=4.1,n=b.1 19) +B=0. bo 求得相应的应力、电场和磁场之后，将其代入骨 3 算例 重建的控制方程，发现除了骨重建的系数，其他的都 考虑一个a=25mm,b=35mm的腿骨作为上 是己知的或者可求的.为了求解骨重建的控制方程， 面骨重建的算例.为了计算方便，事先知道一些材料 需要将这些与e有关的系数处理一下.在这里引入e 参数，鉴于生物材料的复杂特点以及这方面研究的 变化很小的情况下的，这些系数的近似值， 缺乏，在研究骨力学时，只能做一些定性的研究.在 c@=号+营%-g, (13) 本文中除了一些已知的材料参数以外，其他的某些 材料参数都是假设的或者选定的.虽然这样在分析 g=g+黄·) (14) 问题时结果与现实存在一定的差异，由于数学模型 和现实中的骨组织有很大的区别，也只是研究各种 40=出+言4. 15) 因素对骨重建的影响方式和趋势，所以这并不影响 式中：号、c、、喝、，都是与材料有关的常数 对结果的分析和文中研究目的的实现.前面提到，这 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net上标 e 和 p 分别代表内表面和外表面. 2 骨重建控制方程的解 考虑一个受轴向压力 P ,径向压力 p ,电载荷φa (and/ or φb) 和磁载荷ψα (or/ and ψb ) 的中空的圆柱 状骨. 柱状坐标系下压电磁固体的本构方程如下 : σrr = c11 srr + c12 sθθ + c13 szz - e31 Ez - α31 Hz , σθθ = c12 srr + c11 sθθ + c13 szz - e31 Ez - α31 Hz , σzz = c13 srr + c13 sθθ + c33 szz - e33 Ez - α33 Hz , σzr = c44 szr - e15 Er - α15 Hr , Dr = e15 szr +κ1 Er + d1 Hr , Dz = e31 (srr + sθθ) + e33 szz +κ2 Ez + d3 Hz , B r =α15 szr + d1 Er +μ1 Hr , Bz =α31 (srr + sθθ +α33 szz + d3 Ez +μ3 Hz . (10) 式中 :σij 、Di 和 B i 分别是应力、电位移和磁感应强 度; cij是弹性模量; eij 是压电常数;αij 是压磁常数;κi 是介电常数; di 是磁电常数;μi 是磁渗透系数. 而应 变、电场和磁场分别与变形 ui 、电势φ和磁势ψ一一 对应相联系 ,关系如下 : srr = ur, r ,sθθ = ur r ,szz = uz , z ,szr = uz , r + ur, z , Er = - φ, r , Ez = - φ, z , Hr = - ψ, r , Hz = - ψ, z . (11) 对于准静态状态 ,在没有体力、外加电势、磁势 以及电流、磁场的情况下 ,式(10) 可以通过式(12) 应 力、电位移和磁感应强度的平衡方程求解 : 5σrr 5 r + 5σzr 5z + σrr - σθθ r = 0 , 5σzr 5 r + 5σzz 5z + σzr r = 0 , 5Dr 5 r + 5Dz 5z + Dr r = 0 , 5B r 5 r + 5Bz 5z + B r r = 0. (12) 求得相应的应力、电场和磁场之后 ,将其代入骨 重建的控制方程 ,发现除了骨重建的系数 ,其他的都 是已知的或者可求的. 为了求解骨重建的控制方程 , 需要将这些与 e 有关的系数处理一下. 在这里引入 e 变化很小的情况下的 ,这些系数的近似值[22 ] . cij ( e) = c 0 ij + e ξ0 ( c 1 ij - c 0 ij ) , (13) eij ( e) = e 0 ij + e ξ0 ( e 1 ij - e 0 ij ) , (14) αij ( e) =α0 ij + e ξ0 (α1 ij - α0 ij ) , (15) 式中 :c 0 ij 、c 1 ij 、e 1 ij 、α0 ij 、α1 ij都是与材料有关的常数. 从式(1) 和(8) 中可以看到 ,骨内部重建的控制 方程和表面重建的控制方程都可以表示为应变、电 场和磁场的方程. 一旦外界载荷确定了 ,从式 (1) 和 (8) 就可以求得变量 e( t , a , b) 、a( t , e , b) 和 b( t , e , a) 的值. 均匀骨材料的适应性重建的解析解已经得 到[19 - 20 ] ,但是这一解析解并不适用于非均匀的骨质 材料. 因为解析解不能用于求解非均匀骨质材料的 应变、电场和磁场. 有研究表明 :外加径向载荷会使 骨组织变得非均匀. 因而 ,采用基于状态空间法的半 解析解[19 - 20 ]来求解骨重建的控制方程. 注意到 ,外加载荷产生的应变场、电场和磁场都 是与 e( t , a , b) 、a ( t , e , b) 和 b( t , e , a) 相关的. 因而 , 式(1) 和式(8) 都是 e ( t , a , b) 、a ( t , e , b) 和 b( t , e , a) 的函数 ,它们之间是高度耦合的. 其中一个变化都会 引起另外一个量的改变. 但是在先前的研究中 ,骨的 内部重建和表面重建是相互独立的. 也就是说 ,在研 究骨内部重建时忽略表面重建的影响 ,反之亦然. 在 文中 ,首次将二者联合起来考虑 ,将着重考察二者相 互影响的程度. 在数值模拟的时候 ,首先通过半解析解求得外 载荷作用产生的应变场、电场和磁场 ,然后把这些量 代入骨重建的控制方程中 ,得到某一时刻骨重建的 速率. 然后利用前进式的欧拉方法 ,得到下一时刻的 e、a 和 b 的值 : e t+Δt = e t + 5e 5t ×Δt , (16) a t+Δt = a t + 5a 5t ×Δt , (17) b t+Δt = b t + 5b 5t ×Δt. (18) 同时 ,为了表示方便 ,文中引入如下无量纲变量 来表示骨内外表面半径的变化量 : ε= a a0 - 1 ,η = b b0 - 1. (19) 3 算 例 考虑一个 a = 25 mm , b = 35 mm 的腿骨作为上 面骨重建的算例. 为了计算方便 ,事先知道一些材料 参数 ,鉴于生物材料的复杂特点以及这方面研究的 缺乏 ,在研究骨力学时 ,只能做一些定性的研究. 在 本文中除了一些已知的材料参数以外 ,其他的某些 材料参数都是假设的或者选定的. 虽然这样在分析 问题时结果与现实存在一定的差异 ,由于数学模型 和现实中的骨组织有很大的区别 ,也只是研究各种 因素对骨重建的影响方式和趋势 ,所以这并不影响 对结果的分析和文中研究目的的实现. 前面提到 ,这 · 45 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷