第3期 曲传咏，等：多场耦合载荷下的骨重建行为模拟 ·55 些解都是在一定的范围内成立的，所以，在参数选取 响.载荷情况如下：P=1500kN,中=4-中。=-2， 时，可能会出现不同问题间的材料参数不一样的情 -1,1,2V 况，这是为了能更好的研究问题同样不会影响文中的 0.08r 结果的有效性文中选用的材料参数如下： 0.06 c=15(1+e)GPa -2V ↑g1↑； 0.04 C12 =c3 =6.6(1+e)GPa 0.02 =↓↓山 C3 =12(1+e)GPa,cu =4.4(1+e)GPa 0 es=1.14(1+eC/m2,as=550(1+eN/Am. -0.02 ggggg8 骨重建速率系数如下： -0.04 888-8888 G0=0.002d1,G=-0.05d1 -0.06 0 50100150200 G=106d1, 时间/d A=A=42=A=4=A=4.4d A®=AA=107m/(V·d), 图1不同电场作用下￡的变化率 F=F=1.5X108m/(Ad) Fig.1 Variation for several electrical field changes 骨表面重建速率系数如下」 0.06 Cir=-96 m/d,Co=-72 m/d, 0.04 ；÷：: C=-54m/d,C5r=-84m/d, 0.02 解 C=-126m/d,Cm=-108m/d, C3=-96m/d,Cg=-120m/d, -0.02H C,=109m/d,G.-100m/d, 日g—8868 -0.04 .0V 6=0.0008373m/d, -o--I V 88888 -0.06。-2V c8=0.00015843m/d -20020406080100120140160 骨重建控制方程的求解过程如下： 时间/d 1)初始状态下，体积分数变化率e(t,a,b为 零，当t=0时，a=am、b= 图2不同电场作用下的变化率 2)从式(10)~(12)中用状态空间法求得应变 Fig.2 Variation for several electrical field changes 场、电场和磁场 图1和图2是内外表面半径的变化率与时间1 3)把这些值代入式(1)和式(8)中得到时间t时 的关系图.实线表示将内部重建和表面重建联合考 刻肾重建的速率含器 虑，虚线表示忽略内部重建的影响.二者联合考虑与 忽略内部重建后得到的结果相似，加正电场会使骨 4)通过式(16)、(17)和(18)求得下一时刻t+ 内外表面的半径同时增大，而且，二者的变化率几乎 △t的e(t,a,bl、at,e,bl和b(t,a,e 相同.因而，骨的横截面积变大.这意味着，骨组织变 5)用牛顿迭代法来减少上述解的误差.当误差 得更厚，更强壮.而负电场却正好相反.随着时间的 6=兰-10时，迭代终止.这里x表示e0 增加，骨重建速率趋近于零，骨重建达到平衡状态 还可以看到，骨内外表面半径的变化率与电场强度 和b并且i=1,2和3. 6)重复2)~6)步直到求得任一时刻e1,a,b1, 成正比.同时，电场强度越大，骨重建的速率越快越 能刺激骨的愈合速度」 a(t,e,b)and b(t,a,e的值 另外，从图1和图2中还可以看到，考虑内部重 4结果 建的影响得到的结果与忽略其影响得到的结果相比 为了研究各种外加载荷对骨重建的影响，选用 具有很大的差异.后者在数量上来说，普遍比前者要 了如下3种工况来模拟骨的重建行为 大.但是骨重建达到平衡所消耗的时间却普遍较长 4.1电场作用下骨的表面重建 原因如下：骨重建的任务是消除外载荷引起的骨内 首先，考查电场对骨表面重建的影响：)内部重 部应变和电磁场的变化，使骨内的应变和电磁场等 建和表面重建联合起来考虑，：2)忽略内部重建的影 恢复到正常的水平.在人体中，骨内部重建和表面重 建是同时存在的，二者相互影响，相互促进.如果忽 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net些解都是在一定的范围内成立的 ,所以 ,在参数选取 时 ,可能会出现不同问题间的材料参数不一样的情 况 ,这是为了能更好的研究问题,同样不会影响文中的 结果的有效性.文中选用的材料参数如下: c11 = 15 (1 + e) GPa , c12 = c13 = 6. 6 (1 + e) GPa , c33 = 12 (1 + e) GPa , c44 = 4. 4 (1 + e) GPa , e15 = 1. 14 (1 + e) C/ m 2 ,α15 = 550 (1 + e) N/ Am. 骨重建速率系数如下 : C0 = 0. 002 d - 1 ,C1 = - 0. 05 d - 1 , C2 = 10 - 6 d - 1 , A s0 rr = A s1 rr = A s0 zz = A s1 zz = A s0 rz = A s1 rz = 4. 4 d - 1 , A E0 r = A E1 r = 10 - 7 m/ (V ·d) , F E0 r = F E1 r = 1. 5 ×10 - 8 m/ (A ·d) 骨表面重建速率系数如下 : C e rr = - 96 m/ d ,C e θθ = - 72 m/ d , C e zz = - 54 m/ d ,C e zr = - 84 m/ d , C p rr = - 126 m/ d ,C e θθ = - 108 m/ d , C p zz = - 96 m/ d ,C p zr = - 120 m/ d , Cr = 10 - 9 m/ d , Gr = 10 - 10 m/ d , C e 0 = 0. 000 837 3 m/ d , C p 0 = 0. 000 158 43 m/ d 骨重建控制方程的求解过程如下 : 1) 初始状态下 ,体积分数变化率 e ( t , a , b) 为 零 ,当 t = 0 时 , a = a0 、b = b0 . 2) 从式 (10) ～ (12) 中用状态空间法求得应变 场、电场和磁场. 3) 把这些值代入式(1) 和式(8) 中得到时间 t 时 刻骨重建的速率 : 5e 5t 、 5a 5t 、 5b 5t . 4) 通过式 (16) 、(17) 和 (18) 求得下一时刻 t + Δt 的 e ( t , a , b) 、a( t , e , b) 和 b( t , a , e) . 5) 用牛顿迭代法来减少上述解的误差. 当误差 δ= x k + 1 i x k i - 1 ≤10 - 4时 ,迭代终止. 这里 xi 表示 e、a 和 b并且 i = 1 ,2 和 3. 6) 重复 2) ～6) 步直到求得任一时刻 e ( t , a , b) , a( t , e , b) and b( t , a , e) 的值. 4 结 果 为了研究各种外加载荷对骨重建的影响 ,选用 了如下 3 种工况来模拟骨的重建行为. 4. 1 电场作用下骨的表面重建 首先 ,考查电场对骨表面重建的影响 :1) 内部重 建和表面重建联合起来考虑; 2) 忽略内部重建的影 响. 载荷情况如下 : P = 1 500 kN ,φ=φb - φa = - 2 , - 1 ,1 ,2 V. 图 1 不同电场作用下ε的变化率 Fig. 1 Variation for several electrical field changes 图 2 不同电场作用下η的变化率 Fig. 2 Variation for several electrical field changes 图 1 和图 2 是内外表面半径的变化率与时间 t 的关系图. 实线表示将内部重建和表面重建联合考 虑 ,虚线表示忽略内部重建的影响. 二者联合考虑与 忽略内部重建后得到的结果相似 ,加正电场会使骨 内外表面的半径同时增大 ,而且 ,二者的变化率几乎 相同. 因而 ,骨的横截面积变大. 这意味着 ,骨组织变 得更厚 ,更强壮. 而负电场却正好相反. 随着时间的 增加 ,骨重建速率趋近于零 ,骨重建达到平衡状态. 还可以看到 ,骨内外表面半径的变化率与电场强度 成正比. 同时 ,电场强度越大 ,骨重建的速率越快 ,越 能刺激骨的愈合速度. 另外 ,从图 1 和图 2 中还可以看到 ,考虑内部重 建的影响得到的结果与忽略其影响得到的结果相比 具有很大的差异. 后者在数量上来说 ,普遍比前者要 大. 但是骨重建达到平衡所消耗的时间却普遍较长. 原因如下 :骨重建的任务是消除外载荷引起的骨内 部应变和电磁场的变化 ,使骨内的应变和电磁场等 恢复到正常的水平. 在人体中 ,骨内部重建和表面重 建是同时存在的 ,二者相互影响 ,相互促进. 如果忽 第 3 期 曲传咏 ,等 :多场耦合载荷下的骨重建行为模拟 · 55 ·