第二章控制系统的内稳定性 解控制问题的第一步是找到所有使图1.19所示系统稳定的控制器κ.有别于典型控制系统,称 图1.19所示系统为线性分式变换系统。本章内容包括线性分式变换系统内稳定性的频域表达、传递函数 矩阵的互质分解、镇定器集合S(G)的 Youla参数化。本章末尾将证明,通过镇定器的 Youla参数化可将 关于K的非线性函数Tmz的x范数优化问题转化为一个特殊的a控制问题,-模型匹配问题。后 者的传递函数是 Youla参数的仿射函数 82.1内稳定性的频域表达 考虑控制问题的一般框架。如图2.1所示,在图1.19中引入两个辅助变量υ1和υ2.记 图21:三输入三输出的线性分式变换系统 C1|D1D12 K Bc 分别为G和K的状态空间表达式。不失一般性,设(21)和(22)是可镇定( (stabilizable)和可检测(do tectable)的,即系统不可控和/或不可观测的部分是稳定的。在(2.1)中已假设D2=0.如果D22≠0可 通过结构图等价变换将D22移至控制器K中,(见本章问题1)。所以,上述假设并没有使G失去一般 性 由G和K的状态空间表达式,可以写出闭环系统的状态空间表达式。记m和:。分别为G和K的 状态向量,则有 Aa+ Biw+ B2u D210 Acac+ bcy Ccac+ Dcy+ 于是闭环系统的状态空间表达式为 A+ B2 DC2 B2Cc B1+B2DD2B2D。B2 (23) BC. C1+ DiaDC2 Du2Ce I Du+ D12DD DC2￾✂✁✂✄✆☎✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌ ✍✏✎✒✑✔✓✖✕✖✗✖✘✖✙✖✚✖✛✢✜✖✣✢✤✢✥✖✦✢✧✖★✢✩✫✪ ✬ ✪ ✭✮✦✖✯✖✰✖✱✖✲✖✳✢✙✖✓✢✕✖✴✶✵✔✬✷✧✖✸✖✹✖✺✖✻✖✓✢✕✖✰✢✱✖✼✾✽ ✩✿✪ ✬ ✪ ✭❀✦✢✯✢✰✢✱✢❁✢❂✢❃✢❄✢❅✢❆✢❇✢✰✢✱✢❈✾❉✖❊✢❋✢●✢❍✖■✢❂✢❃✖❄✢❅✢❆✖❇✢✰✢✱✢❋✖✲✢✳✢❃✢✙✖❏✢❑✢▲✖▼✢◆✾❖✢P✢◗✖❘ ❙✖❚✖✙✖❯✖❱✖❄✖✍✖◆❳❲✖✳✢✴✖❨✢❩✏❬❪❭ ❫❵❴❛✙❝❜❡❞❢❣❤❥✐✖❘✖❦✖❈❧❉✖❊✖♠✖♥✖♦✢♣✖q✢✼❧r✢s✖❲✢✳✖✴✢✙❝❜❡❞❢❣❤t✐✖❘✖❦✖✉✖♦ ✈✢✹✶✵✏✙✢✇✢❂✢❃✢◗✢❘✶①③②⑤④❀✙✏✎✒✑⑦⑥✢❘✢⑧✢❦✢✗✢✘✢⑨✢❦✢❁✢✛✖⑩✢❶✖❷✢✙❸✎✒✑✢✓✢✕✢✗✢✘✢✼✏❹✷❺✢✻✢❻✢❼✢✗✢✘✢❈✾❽ ❾✖✙✖❖✖P✖◗✖❘✖✣✏❜❡❞❢❣❤❿✐✖❘✖✙✖➀✖➁✖◗✖❘✢❈ ➂⑤➃❡➄ ➅➇➆➉➈➉➊➉➋➍➌➍➎➉➏➍➐➍➑ ➒✖➓✏✎✒✑⑦✓✖✕✖✗✖✘✖✙✖✛✖➔✢→✖➣✢❈✾↔✖✩➙↕ ✬ ✪❪✦✖✯✖✼✾➛✖✩➜✪ ✬ ✪ ✭③➝✖➞✖➟✖➠✖⑩✖➡✢➢✖❆✢➤➦➥❪➧❡➨➦➥➫➩ ✬✷➭ ➯➳➲ ✵ ➲ ➯ ➯ ➯➳➲ ➯ ➵ ➥❛➧ ➸ ➺ ➻ ➥➫➩ ❫ ➼➍➽ ➾ ➚ ➪⑤➶✒➹✒➘✒➶✒➹✒➴✒➷✒➬✒➮❵➱✒✃❵❐✒❒✒❮❵❰ ❫ÐÏÒÑ ❫✒➧ ➧✫❫✒➧ ➩ ❫❿➩ ➧✫❫❿➩ ➩✒Ó❵Ô Ô Õ Ï❀Ï❸Ö× ×ØÚÙ Û ➧ Û ➩ Ü➧ Ýt➧ ➧✫Ýt➧ ➩ Ü➩ Ý✮➩ ➧ßÞáàâ â ã ❭ ↕ ✬ ✪ ❴ ✵ Ô Ô Õ Ï❀ÏäÑ Ù❀å Û③å Ü å Ý å Ó ❭ ↕ ✬ ↕ ❴ ❄✢✸✢❁✫❫⑦➨❸✵➦✙✢æ✢ç✢è✢é✢▲✢▼✢❅✢❈✾ê✢ë✢✛✢➔✢❃✢✼✾ì✫❭ ↕ ✬ ✪ ❴➫➨í❭ ↕ ✬ ↕ ❴❛✣✢✉✢❲✢✳✫❭ î ï ❤ðñ ❣ ñ ò ❤ð❣ ó ❴❛➨✢✉✢ô✢õ✫❭ öó❹ ï ó ÷ ï ❤ð❣ ó ❴❛✙✖✼❵ø✖✰✖✱✖ê✖✉✖✓✖➨✶ùtú✖ê✖✉✖û✖õ✖✙✖ü✖❄✖✣✢✲✖✳✢✙✖❈❵➛✶❭ ↕ ✬ ✪ ❴❪➝✖ý✖þ✖ì➦Ý✮➩ ➩③Ï✢Þ ✬✷↔✖ÿ➦Ý✮➩ ➩✁￾Ï✖Þ❀✉ r✢s✄✂✄☎✢✩✄✆✄✝✢❆✢❇✢♦✶Ý✮➩ ➩✟✞✄✠✖✓✢✕✢✴✶✵✏➝✢✼✫❭✡✖❉✢❊✢✗✢✘✫✪ ❴✷❈✾✦☞☛✾✼✍✌✄✎✢þ✢ì✄✏✒✑✖✧✢★❸❫ ë✒✓✖✛✢➔ ❃✖❈ ✔ ❫⑦➨➦✵❝✙✖æ✖ç✖è✖é✖▲✖▼✢❅✖✼❵✉☞☛✍✕✗✖✙✘✛✚✰✢✱✖✙✢æ✖ç✢è✖é✖▲✢▼✖❅✢❈❵➭✢✜✾➨✣✜✥✤❡❄✖✸✖❁✶❫⑦➨➦✵✏✙ æ✖ç☞✦❧➤✖✼✍✧✖✧ ✜★ Ï Ù ✜✪✩ Û ➧ ➵ ✩ Û ➩ ➸ Ñ ➺ ➻ Ó Ï Ñ Ü➧ Ü➩✒Ó ✜✪✩ Ñ Ýt➧ ➧✫Ýt➧ ➩ Ý✮➩ ➧ßÞáÓ Ñ ➵ ➸ Ó ✩➍Ñ Þ ✫ Ó ➥✷➧ ✜✬✤ ★ ✿Ï Ù ✤ ✜✥✤✥✩ Û ✤ ➻ ➸ Ï Ü✤ ✜✬✤✥✩ Ý✭✤ ➻ ✩✾➥➫➩ ✹✖✣✗✘✍✚✰✖✱✖✙✢æ✖ç✢è✢é✖▲✢▼✖❅✢❁ Ñ ✜★ ✜✥✤ ★ ❿Ó ÏßÑ Ù ✩ Û ➩ Ý✭✤ Ü➩ Û ➩ Ü✤ Û ✤ Ü➩ Ù ✤ Ó Ñ ✜ ✜✥✤❿Ó ✩➍Ñ Û ➧✮✩ Û ➩ Ý✭✤ Ý✮➩ ➧ Û ➩ Ý✭✤ Û ➩ Û ✤ Ý✮➩ ➧ Û ✤ Þ✿Ó Ö× ×Ø ➵ ➥✷➧ ➥➫➩❵àâ â ã ❭ ↕ ✬ ✯ ❴ Ö × ×Ø ➺ ➻ ➸ àâ â ã Ï Ö × ×Ø Ü➧✥✩✾Ýt➧ ➩ Ý✭✤ Ü➩ Ýt➧ ➩ Ü✤ Ü➩ Þ Ý✭✤ Ü➩ Ü✤ àâ â ã Ñ ✜ ✜✥✤❿Ó ✩ Ö × ×Ø Ýt➧ ➧✬✩ Ýt➧ ➩ Ý✭✤ Ý✮➩ ➧ Ýt➧ ➩ Ý✭✤ Ýt➧ ➩ Ý✮➩ ➧ ✫ Þ Ý✭✤ Ý✮➩ ➧ Ý✭✤ ✫ àâ â ã Ö × ×Ø ➵ ➥✷➧ ➥➫➩ àâ â ã ❭ ↕ ✬ ✰ ❴ ↕ ✯