第二章控制系统的内稳定性 根据内稳定性的定义,闭环系统内稳定,当且仅当其系统矩阵 AcI: A+B2D C2 B2C2 B C? A 是渐近稳定的,即Reλ(Aa)<0ⅵi,这里λ;(·)表示矩阵的特征值。内稳定性在频域中可描述如下 定理21图2.1所示的线性分式变换亲统是内稳定的,当且仅当从[u2nn]到[zyu]的传递 函数矩阵稳定。 证明:若Aa1渐近稳定,则与状态空间表达式相应的传递函数矩阵肯定是稳定的。所以必要性是显而易见 的.我们只证充分性,即:如果传递函数矩阵[on]→[yu]稳定,则Aa稳定。其实只 需验证(23)和(24)表示的系统是可镇定且可检测的就行了.将 Popov- Belevitch-Hautus判据应用于(2.3) 和(24)式表示的系统。矩阵 [AI-AI B.- De C2 - Cc B1+ B2 De D21 B2 Dc B2 B.c. 设向量[r1w2]使得 1w2]·[I-AaBa1]=0 若能证明(2.6)仅当[uu2]=02,或ReA<0时才成立,则(AaBa)可镇定 由(26)的最后一列和第四列可得 B2 u2·Ba=0 (26)式的第三列为vB1+u1B2DD21+u2BD21=0,将(27式代入,可得 B1 再将U·B2=02代入(2.6)式的第二列 i B2 Cc+12 又可得 最后将(27)代入(2.6)式的第一列 uf(入 Di B2 D C2 -w2 B C2=0 (27),(2.8),(2.9)(2.10)式可等价地写为 1[D-AB1B2] 由于(A,[B1B2])和(Ac,Bc)均是可镇定的,上式成立时或有[1w2]=02,或RA<0.于是 (Aa,Ba)可镇定。 同理可证(Ca1,Aa)的可检测性✱ ✲ ✳✙✴✛✵✷✶✄✸✒✹✛✺✗✻✄✼✪✽✒✾✄✿ ❀✙❁❃❂❅❄✙❆✛❇✒❈✙❆✙❉✒❊✛❋✛●✄❍✛■❃❂❏❄✄❆✄❊✍❑✛▲✙▼✗❑✍◆✗❍✛■✙❖☞P ◗❙❘ ❚❱❯ ❲❨❳ ◗✍❩✛❬❙❭ ❪✭❫ ❴✟❭❵❬❙❭ ❴✟❭ ❬✟❫ ❴✟❭ ◗❙❫❜❛ ❝✙❞✙❡❄✙❆✄❈✙❊✍❢✣❣✟❤ ✐ ❥ ❦◗❙❘ ❚ ❧♥♠✛♦✛♣rq ❊❅s✙t✉✐ ❥ ❦ ✈ ❧✥✇✙①❖✗P✛❈✍②✒③✛④✗⑤✄❂❅❄✄❆✛❇✄⑥✄⑦✙⑧❃⑨❏⑩✙❶✙❷✄❸✒❹✄⑤ ❺✛❻✉❼❱❽ ❾❃❿➁➀ ➂ ➃➅➄✙➆✄➇✛➈✛➉✙➊✒➋✙➌✍➍➏➎➑➐✙➒❃➓➑➔✙→✗➇✙❊✍➣❅↔✛↕➏➣✪➙➜➛ ➝➅➞❅➟r➞➠➡➟r➞❭❱➢ ➞✙➤ ➛ ➥ ➞❅➦❱➞➑➧✮➞ ➢ ➞ ➇✍➨✙➩ ➫✍➭✙➯✗➲➔✛→✒⑤ ➳✒➵➺➸✭➻ ◗❙❘ ❚ ❞✙❡❄✙❆✄❊✭➼✄➽✛➾✄➚✒➪✄➶✇✄➹✙➘✙➴✄➷❈✛➬✙➮✒➱✛✃✙❖✗P✍❐✄❆❝❄✙❆✄❈✄⑤✭❒☞❮✍❰✛Ï✄❇❝✄Ð✙Ñ✒Ò✛Ó ❈✙⑤❅Ô✄Õ✙Ö✍×✒Ø✍Ù✙❇✗❊❏❢ ➸ ❸✙Ú✄➬✙➮✒➱✛✃✙❖☞P ➛ ➝➅➞✍➟r➞➠ ➟ ❭ ➢ ➞✍ÛrÜ ➛ ➥➞✍➦❱➞✍➧ ➢ ➞ ❄✙❆✄❊➑➼ ◗❙❘ ❚ ❄✙❆✄⑤➑◆✄Ý✄Ö Þ✛ß×✣❦ ✱ à á ❧✬â ❦ ✱ à ✲ ❧✬✇✙①❈✙❍✍■❝⑩✛ã✄❆✛▲✄⑩✛ä✙å✒❈✍æ✄ç✗è✛⑤❙éëê✬ìírìîï ð✮❤ ñ ❤îò ó ôõï ö✟÷øó øù❙ú✛❁➷✄û✙ü ❦ ✱ à á ❧ â ❦ ✱ à ✲ ❧✮➘✙✇✙①❈✙❍✍■✒⑤❅❖☞P ý✐ þ Û ◗❙❘ ❚➺❬✟❘ ❚ ÿ❱❲ ❳ ✐ þ Û ◗ Û ❬❙❭ ❪✭❫ ❴✟❭ Û ❬❙❭ ❴♥❫ ❬➠ ❩✛❬❙❭ ❪✭❫ ❪➅❭ ➠ ❬❙❭ ❪✭❫❵❬❙❭ Û ❬✟❫ ❴✟❭ ✐ þ Û ◗❙❫ ❬✟❫ ❪➅❭ ➠ ❬✟❫ ♦ ❛ ❦ ✱ à ✁ ❧ ✂☎✄✝✆➜➛➝✁➞➠➡➝➅➞❭✬➢✟✞✡✠ ➛➝➞➠❨➝➞ ❭❱➢ ✈ ý✐ þ Û ◗❙❘ ❚➺❬✟❘ ❚ ÿ❱❲☞☛➞✍✌ ❦ ✱ à ✎ ❧ ➻☞✏×☎✑➺❦ ✱ à ✎ ❧ ▼✒❑ ➛➝➅➞➠ ➝✁➞❭❱➢ ❲☞☛➞✟✒ ✓ ❣✟❤ ✐ ♠✙♦✕✔✗✖✗✘✡✙❊❅➼ ❦◗❙❘ ❚✙❬✟❘ ❚ ❧ ⑩✛ã✄❆✄⑤ ✚➁❦ ✱ à ✎ ❧ ❈✜✛✡✢☞✣✗✤â☞✥✧✦✤✄⑩✠ ➝➞➠ ✈ ❬❙❭❙❲✡☛➞✩★ ➝➞ ❭ ✈ ❬✟❫✟❲☞☛➞ ❦ ✱ à ✪ ❧ ❦ ✱ à ✎ ❧✥➘❈✥✡✫✤☞✬✢➝➑➞➠ ❬➠ ❩ ➝✁➞➠ ❬❙❭ ❪✭❫❱❪➅❭ ➠ ❩ ➝✁➞❭ ❬✟❫❱❪➅❭ ➠ ❲☞☛➞ ✒ é ❦ ✱ à ✪ ❧✥➘✡✭✡✮❊❏⑩✠ ➝➞➠ ❬➠ ❲☞☛➞ ❦ ✱ à ✯ ❧ ✰✙é✣➝✁➞➠ ✈ ❬❙❭❙❲☞☛➞ ✭✡✮ ❦ ✱ à ✎ ❧✥➘❈✥✡✱✤ Û➝➞➠ ❬❙❭✬❴♥❫✬❩ ➝➞ ❭ ❦ ✐ þ Û ◗❙❫ ❧✮❲☞☛➞ ✲⑩✠ ➝➞ ❭ ❦ ✐ þ Û ◗❙❫ ❧✥❲☞☛➞ ❦ ✱ à ✳ ❧ ✛✡✢✙é ❦ ✱ à ✪ ❧✴✭✡✮ ❦ ✱ à ✎ ❧✮➘❈✥✣✗✤ ➝➞➠ ❦ ✐ þ Û ◗❧ Û ➝➞➠ ❬❙❭✬❪✭❫❱❴✟❭ Û ➝➞ ❭ ❬✟❫❱❴✟❭✟❲☞☛➞ ✠ ➝➞➠ ❦ ✐ þ Û ◗❧✮❲☞☛➞ ❦ ✱ à ✵ ♦ ❧ ❦ ✱ à ✪ ❧ ✒ ❦ ✱ à ✯ ❧ ✒ ❦ ✱ à ✳ ❧ ❦ ✱ à ✵ ♦ ❧✬➘⑩✗✶✡✷✡✸☞✹☞✬ ➝➞➠ ý✐ þ Û ◗ë❬➠ ❬❙❭ ÿ❱❲☞☛➞✟★ ➝➞ ❭ ý✐ þ Û ◗❙❫✍❬✟❫✮ÿ❱❲☞☛➞ ❦ ✱ à ✵ ✵ ❧ ✚ ü ❦◗ ★ ý❬➠ ❬❙❭ ÿ ❧✟â ❦◗✻✺ ★ ❬✼✺✮❧✼✽❝⑩✙ã✒❆✒❈✄❊✝✾➘☞✘☞✙✧✔✓✡✿ ➛➝✁➞➠ ➝➅➞❭ ➢ ❲❀☛➞ ✒❁✓ ❣✟❤ ✐ ♠❃♦ à ü❝ ❦◗❙❘ ❚ ★ ❬✟❘ ❚ ❧ ⑩✛ã✄❆✄⑤ ❂❄❃⑩✛× ❦ ❴♥❘ ❚ ★ ◗❙❘ ❚ ❧ ❈✛⑩✛ä✙å✙❇✒⑤