·80· 北京科技大学学报 在[A】中第2列为零列，各非零列两两线性无关，但都可用{5和{5}线性表示 在[A]中各列均与{5}线性相关；在[B,】和[B】中，各列均与{}线性相关. 3)系统对初速度的响应 下面我们考察在不同惯量件上存在初速度条件下系统扭振响应·按(15)式，只取扭转 成分{0"，记在{8，}中仅0。，=1/J,其余初速度均为零时系统扭振响应为{8}“，i=1,2,3,4,则得： (0)i=-2A}e-sin@'t-2(Ae-m sinot (0=-2A)2 em sinwit-2(A2)2e-m sint (0)=-2A)3e m sincit-2A:)3 e-m sinoit (16) 0=-2A)e sin@t-2A2)e-m sino't 式中{A},表示矩阵m[A]中的第j列，i=1,2;j=l,2,3,4. 一阶、二阶复特征值$，、$，的实部和虚部分别反映了对应阶振动的振幅衰减率和振动频 率，与特征值是否重特征值无关. 对应于S,的留数矩阵[A]第二列为零列，因而J,上的初速度作用没有激起系统第一阶振 动，J、J、J4上的初速度激起的该阶振动日，恒为零.[A]的各非零列两两互不相关，对应 各惯量件上初速度激起的第一阶振动振型两两互异，对应于s,的留数矩阵[A]各列线性相 关，因此各惯量件上初速度激起的第二阶振动振型均相同， 对应于非重特征值$，的特征向量描述了系统第二阶振动振型，与初速度作用位置无关， 对应于重特征值$，的特征向量{}和{5}各自与[A】中任意非零列线性无关，因此二者 均没有描述第一阶振动振型·但它们的线性组合可以与[A:】中任意非零列线性相关，因而各 惯量件上初速度激起的第一阶振动振型均可由{：}和{}线性组合表示. 本例中系统阻尼为比例阻尼，系统自由振动响应可用固有模态理论求得与式(16)完全 相同的结果，在用固有模态理论求响应时，对应于重特征值出现两个该阶主振动，这是求解 方法上人为地引进的，实际上两个该阶主振动频率和衰减率均为相同，必可合成为一个同频 率、同衰减率的运动量·另一方面，确定的系统在确定的激励下任一阶振动振型只能有一 个，其形态取决于各激励的大小和作用位置·在系统有重特征值情形下，用特征向量来描述 系统自由振动振型是不方便的，用留数矩阵的列才具有确定的意义，有关本文理论在轧钢机 扭振研究中的应用，请看笔者的学位论文)， 5结论 (1)阻尼线性多自由度系统不管是否具有重特征值都可用传递函数法按本文叙述的步骤 进行振动响应求解， (2)欠阻尼系统任意阶特征值的实部和虚部分别反映对应阶振动成分的衰减率和振动频 率，与特征值是否重特征值无关， (3)对应于非重特征值的线性无关特征向量是唯一的，对应阶留数矩阵各列均与它线性 相关，特征向量和留数矩阵的列均描述了系统对应阶振动振型· (4)对应于重特征值的线性无关特征向量不是唯一的，而对应阶留数矩阵是唯一确定 的，它的每一列都与对应阶某个特征向量线性相关.留数矩阵的列描述了对应列号的广义坐 (下转85页)· 。 北 京 科 技 大 学 学 报 在 【 中第 列 为零 列 ， 各 非 零 列 两 两 线 性 无 关 ， 但 都可 用 氛 和 省 线性 表示 在 【 」中各列 均 与 亡 线性 相 关 在 和 中 ， 各 列 均 与 七 。 线性相 关 系 统对初 速度 的响应 下 面我们考 察在 不 同惯 量 件 上 存 在初 速度 条件下 系 统扭 振 响应 按 式 ， 只取 扭 转 成分 ， 记在 。 中仅 口 。 ， ’ ， 其余初速度均为零时系统扭振响应为 彩 ， 二 ，， ， ， 则得 万， 一 ， 一 ， 。 ’ 一 蔓 一 一 ， 。 一 恤囚林 舀 一 。 一 ‘ 。 一 ， 一 “ ， 。 一 ” ， 田 二 二 一 王 一 ‘ 。 几一 、 一 ” ， 。 玉 一 ‘ 。 飞 式 中麦 表 示 矩 阵 中的第 列 ， ， ， ， ， 一 阶 、 二 阶复特 征值 、 的实部 和 虚 部 分 别 反 映 了 对应 阶 振 动 的振 幅 衰 减 率和 振 动频 率 ， 与特 征值是 否 重 特 征值 无 关 对应于 的 留数矩 阵 【 」第二 列 为零列 ， 因而 上 的初速 度作 用没有激起系 统第 一 阶振 动 ， 、 、 几上 的初 速度激 起 的该 阶振 动 恒 为 零 【 」的 各 非 零 列 两 两互 不 相 关 ， 对应 各惯量 件上初 速 度激起 的 第 一 阶 振 动 振 型 两 两 互 异 对应 于 的 留数矩 阵 各列 线性相 关 ， 因此 各惯 量 件上 初 速度 激起 的第二 阶振 动振 型均相 同 对应 于 非重 特征值 的特征 向量 描述 了 系 统第 二 阶振 动振 型 ， 与 初 速 度 作 用 位 置 无 关 对应于 重 特征值 ， 的特 征 向量 省 和 老 各 自与 中任意非零列线性无关 ， 因此二者 均 没有 描述 第 一 阶振 动振 型 但 它们 的线性 组 合可 以 与 【 中任意非零列线性 相 关 ， 因而 各 惯量 件上 初 速度 激起 的第一 阶振 动振 型 均可 由 心 。 和 代 ， 线性 组 合 表示 本例 中系统阻尼 为 比例 阻尼 ， 系统 自由振 动响应 可 用 固有模态理 论求得 与式 完 全 相 同的结果 在 用 固有模态理 论求 响应 时 ， 对应于 重特 征值 出现 两个 该 阶主振 动 ， 这 是求解 方 法 上 人 为地 引进 的 实 际上 两 个该 阶主振 动频 率和 衰减 率均 为相 同 ， 必 可 合成 为一个 同频 率 、 同衰减 率 的运 动量 另一 方 面 ， 确定 的 系 统在 确 定 的 激 励 下任 一 阶振 动 振 型 只 能 有 一 个 ， 其形 态取 决于 各激 励 的大小 和 作 用 位 置 在 系 统有 重 特 征值情 形 下 ， 用特 征 向量 来描述 系 统 自由振 动振 型是不 方便 的 ， 用 留数矩 阵 的列 才具有 确 定 的意 义 有 关 本 文理论 在 轧钢机 扭 振研究 中的应 用 ， 请看 笔 者 的学位 论 文 【” 结论 阻尼 线性 多 自由度 系 统不 管是 否 具 有重 特征值都可 用传递 函数法 按本 文叙述 的步 骤 进行 振 动 响应求解 欠 阻尼 系 统任意 阶特 征值 的实部 和 虚部分别 反 映 对应 阶振 动成 分 的衰减 率 和振 动 频 率 ， 与特 征值是 否 重 特 征值 无 关 对应于 非 重 特 征值 的线性 无 关 特征 向量 是 唯 一 的 ， 对应 阶 留数矩 阵各 列 均 与它线 性 相 关 特征 向量 和 留数矩 阵 的列 均 描 述 了 系统对应 阶振 动振 型 对应于 重特 征值 的线性 无 关 特 征 向量 不 是 唯 一 的 ， 而 对应 阶 留数 矩 阵是 唯 一 确 定 的 ， 它 的每一列 都 与对应 阶某 个特 征 向量 线性 相 关 留数 矩 阵 的列 描述 了 对应 列号 的广义坐 下 转 页