《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 实数完备性的等价命题 一、问题提出 确界存在定理（定理1.1）揭示了实数的连续性和实数的完备性.与之等价的还有五 大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6. 定理1.2（单调有界定理）任何单调有界数列必定收敛， 定理1.3（区间套定理）设a6,》为一区间套： 1[am,b]p[a1,a],n=1,2. 2知(6，-a)）-0 则存在唯一一点[46小，-12. 定理1.4（有限覆盖定理）设H-(心刃是闭区间a,6]的一个无限开覆盖，即 [a,b]中每一点都含于H中至少一个开区间（心列内.则在H中必存在有限个开区间， 它们构成【a,6]的一个有限开覆盖。 定理1.5（聚点定理）直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点户，即在广的 任意小邻域内都含有S中无限多个点（本身可以属于S,也可以不属于S), 定理1.6（何西准则）数列(a,收敛的充要条件是：Y>0,3NeN,只要 m>N,恒有a,-4,K6.《后者又称为柯西(Cauhy)条件，满足柯西条件的 数列又称为柯西列，或基本列。) 这些定理构成极限理论的基础.我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的 还要学会怎样用它们去证明别的命题.下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使 用这些理论工具. 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ◆，(1)一(3)基本要求类 (4)~(7)阅读参考类 .: (⑧)~(10)习题作业类《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 1 实数完备性的等价命题 一、问题提出 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五 大命题，这就是以下的定理 1.2 至定理 1.6． 定理 1.2(单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． 定理 1.3(区间套定理） 设 为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理 1.4(有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间， 它们构成 的一个有限开覆盖． 定理 1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的 任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）． 定理 1.6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是： ，只要 恒有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的 数列又称为柯西列，或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的 还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使 用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ： (1)～(3) 基本要求类 ： (4)～(7) 阅读参考类 ： (8)～(10) 习题作业类