证因{An}是递增有界数列,由单调有界定理,数列{An}收敛由数列极限的柯西准则(必要性), E>0,N,Vn>N,对任何正整数P,有 <E, n+p n+p-1 I+P-Ia.+tm+lan<a 对数列{n}应用柯西准则(充分性),可知{an}也是收敛的 注满足本题条件的数列称为有界变差数列 为 证Vm,有 √a a. 于是{an}是有下界数列 再证{an}的递减性:Vn,又有 a=an n+1 2(a2)2 由数列极限的单调有界定理,存在iman 在an1=an+中令n→∞,得到l=/a 解出/=±√G并舍去负根,有ma=√G 8.设a1>b1>0,记 b bn证 因 A n  是递增有界数列，由单调有界定理，数列 A n  收敛.由数列极限的柯西准则（必要性），   0,N,n  N ，对任何正整数 P，有 −   A n+ p A n ， 即 an+ p − an = an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 ++ an+1 − an ≤ an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 +…+ an+1 − an  ， 对数列 an  应用柯西准则（充分性），可知 an  也是收敛的. 注 满足本题条件的数列称为有界变差数列. 7．设 , 1,2, 2 1 , 2 1 0, 0, 1 1 =          = +        = + + n a a a a a a a n n n    .证明：数列 an  收敛，且其极限 为  . 证 n, 有         + = + n n n a a a  2 1 1 ≥    = n n a a ，       = + a a a  2 1 1 ≥  ， 于是 an  是有下界数列. 再证 an  的递减性： n ，又有         + = + n n n a a a  2 1 1 =         + 2 1 2 n n a a  ≤       + a an  1 2 = n a 由数列极限的单调有界定理，存在 a l n n = → lim . 在         + = + n n n a a a  2 1 1 中令 n→ ，得到       = + l l l  2 1 ， 解出 l =   并舍去负根，有 =  → n n lim a . 8．设 a1  b1  0 ，记 2 −1 + −1 = n n n a b a ， 1 1 2 1 1 − − − − + = n n n n n a b a b b ， n = 2,3, 