≤a1a2…an≤ a1+a2+…+an 于是有 lim taz¨+a n lim 由迫敛性证得 imya1a2…an=a 注上述结论也可以利用指数函数连续性和(1)来证明 1+ (2)ima=1(a>0):(提示:a1=a,a,=1(1≥2) (3)lmVh=1:(4)lm (5)lm=e:(提示:在题3(2)中取an=1+1 √n 1+√2+√3+…+n (6) lim a2>0,.则如= (7)若 lim ml (8)若lm(an-an1)=d,则加man=d 证明:若{n}为递增数列,{bn}为递减数列,且lm(an-bn)=0 则man与mb都存在且相等 提示证明{an},{n}为有界数列 6.设数列{an}满足:存在正数M,对一切n,有 A=a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an1|≤M 证明:数列{an}与{4}都收敛a a an n 1 1 1 1 2 + ++ ≤ n a1a2 an ≤ n a1 + a2 ++ an ， 于是有 a n a a an n = + + + → 1 2  lim ， n n a a a n 1 1 1 lim 1 2 + + + →  = a a n a a an n = = + + + → 1 1 1 1 1 1 lim 1 2  . 由迫敛性证得 a a a a n n n = → lim 1 2  . 注 上述结论也可以利用指数函数连续性和（1）来证明. （1） 0 1 2 1 1 lim = + + + → n n n  ； （2） lim =1(  0) → a a n n ；（提示： , 1( 2) a1 = a ai = i  ） （3） lim =1 → n n n ；（4） 0 ! 1 lim = n→ n n ； （5） e n n n n = → ! lim ；（提示：在题 3（2）中取 n n n a       = + 1 1 ） （6） 1 1 2 3 lim 3 = + + + + → n n n n  ； （7）若 lim ( 0) 1 =  + → n n n n a b b b ，则 b a n n n = → lim ； （8）若 an an d n − − = → lim( ) 1 ，则 d n an n = → lim . 5．证明：若 an  为递增数列， bn  为递减数列，且 lim( − ) = 0 → n n n a b ， 则 n n a → lim 与 n n b → lim 都存在且相等. 提示 证明 an ，bn  为有界数列. 6．设数列 an  满足：存在正数 M，对一切 n ，有 | | AN = a2 − a1 + | | a3 − a2 +…+ | | an − an−1 ≤M. 证明：数列 an  与 A n  都收敛