(1)imnq"=0qk1);(2)mn 0(a≥1):(3)lmny 设q 1+h (2)先证lm蚂n=0 (3)VE>0,试证彐N,m>N,<E,设M=-,即M 3.设lma.=a,证明: (1)m4+a+…+a=a(又问由此等式能否反过来推出ma=a); (2)若an>0n=12,…),则ima1a2…an=a 证(1)因为man=a,于是VE>03N,W>N时,{a-an E ≤ 当N1固定,取n充分大,n>N2时 <5,于是当n>N=maxN1,N2}时 E 8 即lina+a2+…+an=a 反之不必然,例如an=(-1),n}发散,但是ma+a2++a=0 注所证结论可作为§2范例5中施笃茨定理的推论 (2)若a=0,因为 0≤{a1a2…a ≤a+a2+…+an 令n→∞,由(1)有m4a++a=0,应用迫敛性,有ma2…an=0 若a>0,因为iman=a,所以lm=-又因为a,>0(i=1,2,…,n),利用不等式(其证明见 教材第六章§5习题8(1))（1） lim 0(| | 1) 2 =  → n q q n n ；（2） 0( 1) lg lim =  →   n n n ；（3） lim ! = 0 → n n n . 提示 （1）设 , 0 1 1  + = h h q . （2）先证 0 lg lim = → n n n . （3）   0 ，试证 , ! 1  ,  ,   n n N n N 设  1 M = ，即 1 !  n M n . 3．设 an a n = → lim ，证明： （1） a n a a an n = + + + → 1 2  lim （又问由此等式能否反过来推出 an a n = → lim ）； （2）若 a  0(n =1,2, ) n ，则 a a a a n n n = → lim 1 2  . 证 （1）因为 an a n = → lim ，于是 1 1   0,N ,n  N 时， 2 | |  an − a  . a n a a an − 1 + 2 ++ ≤ n a1 − a ++ aN − a + aN +1 − a ++ an − a 1 2 ≤ 2 1 1 1   − + − + + − n n N n a a  aN a . 当 N1 固定，取 n 充分大， n  N2 时 2 1 1   − + + − n a a  aN a ，于是当 n  N = maxN1 , N2  时 a n a a an − 1 + 2 ++ ≤    + = 2 2 . 即 a n a a an n = + + + → 1 2  lim . 反之不必然，例如  n  n an = (−1) , a 发散，但是 lim 0 1 2 = + + + → n a a an n  . 注 所证结论可作为§2 范例 5 中施笃茨定理的推论. （2）若 a = 0 ，因为 0≤ n a1a2 an ≤ n a1 + a2 ++ an ， 令 n→ ，由（1）有 lim 0 1 2 = + + + → n a a an n  ，应用迫敛性，有 lim 1 2 = 0 → n n n a a a . 若 a  0 ，因为 an a n = → lim ，所以 n an a 1 1 lim = → .又因为 a 0(i 1,2, , n) i  =  ，利用不等式（其证明见 教材第六章§5 习题 8（1））