supf(x)-f(x"=M-m 证按确界定义,应当证明 x"∈,f(x)-f(x")≤M (2)VE>0, Ex, x"EI, f(r,)f(r"<M-m-E 先证(1)Wx,x"∈I,f(x)≤M,f(x")≥m,于是有 f(x)-f(x")≤M-m 同理又有 f(x")-f(x)≤M-m, Jf(x)-f(x")≤M-m 再证(2)若M=m,则f(x)在I上恒为常数,结论是显然的不妨设Mm,取正数E<M-m 为 M=sup f(x), m=inf f(x), 所以V>0,3x',x"∈I,使得 <f(x),f(x")<m+ E 于是 M-m-E<f(r)-f(r")s(r)-f(x") 由此可见 f(x)-f(x”) 第二章数列极限 §1数列极限概念 1.求下列数列的极限: (1) lim Vn3+3"(=3);(2)lm(=0) )(=0) 2.证明f x f x M m x x I  −  = −   sup ( ) ( ) , . 证 按确界定义，应当证明： （1） x  , x I ， f (x ) − f (x ) ≤ M − m ； （2）   0,x  , x I ， f (x ) − f (x ) < M − m −  ； 先证（1） x  , x I ， f (x ) ≤ M ， f (x ) ≥ m ，于是有 f (x ) − f (x ) ≤ M − m ， 同理又有 f (x ) − f (x ) ≤ M − m ， 即 f (x ) − f (x ) ≤ M − m . 再证（2）.若 M = m ，则 f (x) 在 I 上恒为常数，结论是显然的.不妨设 M>m，取正数   M − m .因 为 M sup f (x) xI = ， m inf f (x) xI = ， 所以   0,x  , x I 2  ，使得 ( ) 2 M −  f x   ， 2 ( )  f x   m + ， 于是 M − m −   f (x ) − f (x )  f (x ) − f (x ) . 由此可见 sup ( ) ( ) , f x f x x x I  −    = M − m . 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 1．求下列数列的极限： （1） lim 3 ( 3) 3 + = → n n n n ；（2） lim ( 0) 5 = → n n e n ； （3） lim( + 2 − 2 +1 + )(= 0) → n n n n . 2．证明：