因而(1)中不等式不成立 同理可证(2) 14.将定义在(0,+∞)上的函数∫延拓到R上,使延拓后的函数为(i)奇函数,(i)偶函 数,设 f(x) (2)f(x)= x2,0<x≤1, 解(1)f是定义在(0,+∞)上的,为了把函数f延拓到R上,必须将∫定义域扩充到(-∞0 上去,得到R上的函数F(x)在(0,+∞)上应当与f(x)相合 (i)为了使∫延拓后成为奇函数,而奇函数的图形关于原点对称,所以应当定义 snx+1,x>0, F(x)={0 容易验证,x∈R,F1(-x)=-F1(x),因此F1(x)即为所求的奇函数 (i)F2(x)= x+1,x≥0 sin x. x<0 为所求的偶函数 (=1 0≤x≤1, -x2,-1≤x<0 为所求的奇函数 X F2(x)={1-√1-x2,|xk1 为所求的偶函数 15.设∫为定义在R上以h为周期的函数,a为实数证明:若∫在[a,a+h上有界,则∫在R 上有界 证由条件∫在[a,a+h上有界,故丑M>0,对于vx∈[a,a+h,有|f(x)|≤M Wx∈R,m∈Z,使得x=mh+x1,其中x1∈[a,a+h]因为f以h为周期,所以vx∈R,满足 (x)=|f(mh)+x|=|(x)≤M 即f是R上的有界函数 16.设∫在区间I上有界记 M=sup f(x), m=inf f(x) 证明:因而（1）中不等式不成立. 同理可证（2）. 14．将定义在（0，+∞）上的函数 f 延拓到 R 上，使延拓后的函数为（i）奇函数，（ii）偶函 数，设 （1） f (x) = sin x +1 ； （2）      − −   = , 1 1 1 , 0 1, ( ) 3 2 x x x x f x 解 （1） f 是定义在（0，+∞）上的，为了把函数 f 延拓到 R 上，必须将 f 定义域扩充到 (−,0] 上去，得到 R 上的函数 F(x) 在（0，+∞）上应当与 f (x) 相合. （i）为了使 f 延拓后成为奇函数，而奇函数的图形关于原点对称，所以应当定义     −  = +  = sin 1, 0. 0, 0, sin 1, 0, ( ) 1 x x x x x F x 容易验证， , ( ) ( ) 1 1 xR F −x = −F x ，因此 ( ) 1 F x 即为所求的奇函数. （ii）    −  +  = 1 sin , 0. sin 1, 0, ( ) 2 x x x x F x 为所求的偶函数. （2）（i）         − − + − −   − −    = , 1 1 1 , 1 0, 1 1 , 0 1, , 1, ( ) 3 2 2 3 1 x x x x x x x x F x 为所求的奇函数. （ii）       − − −   = , 1. 1 1 , | | 1, , 1, ( ) 3 2 3 2 x x x x x x F x 为所求的偶函数. 15．设 f 为定义在 R 上以 h 为周期的函数， a 为实数.证明：若 f 在 [a,a + h] 上有界，则 f 在 R 上有界. 证 由条件 f 在 [a,a + h] 上有界，故 M  0 ，对于 x[a, a + h] ，有 | f (x)| ≤M. xR,mZ ，使得 1 x = mh + x ，其中 [ , ] x1  a a + h .因为 f 以 h 为周期，所以 xR ，满足 f (x) = f (mh) + x1 = f (x1 )  M ， 即 f 是 R 上的有界函数. 16．设 f 在区间 I 上有界.记 M sup f (x) xI = ， m inf f (x) xI = . 证明：