区间的长度之和可以任意小) 证充分性:设f(x)≤M。VE=σ>0,存在划分P,使得振幅o≥E 的那些小区间的长度之和∑Ax,<E,于是 ∑oAx,=∑0△x1+∑△Ax,<b-a)+2M 0<8 即f(x)在[a,b上可积 必要性:用反证法,如果存在s0>0与a0>0,对任意划分P,振幅o,≥5o 的小区间的长度之和不小于σ,于是 ∑o,Ax=∑oAx+∑m△x≥60∑Ax,≥oo, 则当A=max(x)→0时,∑a4x不趋于零,与f(x)在[a,b上可积矛盾。 9.设f(x)在a,b上可积,A≤f(x)≤B,g(u)在[A,B上连续,证明复合 函数g(f(x)在[a,b上可积。 证由于g()在[A,B连续,所以可设g(u)≤M,且g()一致连续,于 是vE>0,36>0,V,n"∈[A,B],只要-川<δ,就成立 g(ul’)-g(l 由于f(x)在ab]可积,由习题8,对上述E>0与δ>0,存在划分 P,使得振幅o()≥δ的小区间的长度之和小于,于是 ∑o(gAx,=∑o(g°Ax,+∑o、8°)Ax ,, o 01(f≥6 ∑Ax+2M∑Ax<6(b-a)+204M=, 2(b-a)0,(k6 0G22(b-a) 即复合函数g(f(x)在[a,b上可积区间的长度之和可以任意小）。 证 充分性: 设 f (x) ≤ M 。 ∀ε = σ > 0 , 存在划分P , 使得振幅ω ≥ ε i 的那些小区间的长度之和 ∑≥ ∆ < ω ε i i x ε , 于是 ω ω ω ε ω ε ω ε [( ) 2 ] 1 x x x b a M i i i i i i n i ∑ i∆ i = ∑ ∆ + ∑ ∆ < − + = < ≥ ， 即 f (x)在[a,b]上可积。 必要性：用反证法，如果存在ε 0 > 0与σ 0 > 0，对任意划分P ，振幅 0 ω ≥ ε i 的小区间的长度之和不小于σ 0 , 于是 0 0 0 1 0 0 0 ω ω ω ε σ ε ω ε ω ε ω ε ∑ ∆ = ∑ ∆ + ∑ ∆ ≥ ∑∆ ≥ = i < i ≥ i ≥ i i i i i n i i i x x x x ， 则当 max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ x 时，∑ 不趋于零，与 在 上可积矛盾。 = ∆ n i i i x 1 ω f (x) [a,b] 9. 设 f (x)在[ , a b]上可积， A f ≤ ( ) x ≤ B , g(u) 在[ , A B]上连续，证明复合 函数 g f ( (x)) 在[ , a b]上可积。 证 由于 g(u) 在[A, B]连续, 所以可设 g(u) ≤ M ，且 一致连续, 于 是 g(u) ∀ε > 0 ,∃δ > 0 ,∀u',u"∈[A, B], 只要 u'−u" < δ , 就成立 2( ) ( ') ( ") b a g u g u − − < ε 。 由于 f (x) 在[a,b]可积, 由习题 8, 对上述ε > 0与δ > 0 , 存在划分 P ,使得振幅ωi( f ) ≥ δ 的小区间的长度之和小于 4M ε , 于是 ∑ ∑ ∑ = < ≥ ∆ = ∆ + ∆ ω δ ω δ ω ω ω 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f i i f i i n i i i i i g D f x g D f x g D f x ε ε ε ε ω δ ω δ − + ⋅ = − ∆ + ∆ < − < ∑ ∑ < ≥ M b a M b a x M x b a f i f i i i 4 ( ) 2 2( ) 2 2( ) ( ) ( ) ， 即复合函数 g f ( (x))在[ , a b]上可积。 208