证明在ab上也可积 f(x) 证任取[a,b的一个划分:a=x0<x1<…<xn1<xn=b,则 1 ≤-2sup((x)-f(x LSx, 's,f(x) f(x")/m2 I-st,r<r, (x”)=-2O() 由于f(x)在[a,b上可积,E>0,3δ>0,当λ=max(Ax)<δ时, ∑a(A<m,从而∑o(A<E,所以小在b上可积 f(x) 7.有界函数f(x)在[a,b上的不连续点为{xn}m1,且imxn存在,证明 f(x)在a,b上可积。 证不妨设lmxn=c,且c∈(a.b),并设(x)≤M。VE>0,取 d=w2Mab-c,则彐N>0,当n>N时,n-4<o。 由于f(x)在[a,c-6和(+6b]上只有有限个不连续点,所以f(x) 在[a,c-δ]和[c+,b上都可积,即存在[a,c-。的一个划分P和 a+6的一个划分P,使得∑o“△<3∑o9。将P、 P2的分点合并在一起组成[a,b的一个划分P,则 aAx≤SoAx+∑o2Ax2)+4M6<5+5+5=E, 所以f(x)在{a,b上可积。 c=a或c=b的情况可类似证明。 8.设f(x)是区间ab]上的有界函数。证明f(x)在[ab上可积的充分 必要条件是对任意给定的>0与a>0,存在划分P,使得振幅a≥E的 那些小区间[x1x]的长度之和∑△x<a(即振幅不能任意小的那些 12E 207证明 ( ) 1 f x 在[ , a b]上也可积。 证 任取[ , a b]的一个划分：a = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = b ，则 ( ) 1 sup ( ( ) ( )) 1 ( ) 1 ( ) 1 ) sup 1 ( 2 , 2 , 1 1 f m f x f x f f x f x m i x x x x x x x x i i i i i ω ≤ ′ − ′′ = ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ = − ≤ ′ ′′≤ − ≤ ′ ′′≤ ， 由于 f x( ) 在 [ , a b]上可积， ∀ε > 0,∃δ > 0 ，当 λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 时， ω 2 ε ，从而 1 ( f ) x m n i ∑ i ∆ i < = ∑ω ∆ < ε = n i i i x f 1 ) 1 ( ，所以 ( ) 1 f x 在[ , a b]上可积。 7. 有界函数 f (x)在[ , a b]上的不连续点为{ } xn n∞ =1，且lim 存在，证明 n n x →∞ f x( )在[ , a b]上可积。 证 不妨设 lim ，且 n n x →∞ = c c ∈ (a,b) ，并设 f (x) ≤ M 。 ∀ε > 0 ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = c − a b − c M , , 12 min ε δ ，则 ∃N > 0，当n > N 时， xn − c < δ 。 由于 f (x)在[a, c − δ ]和[c + δ ,b]上只有有限个不连续点，所以 f (x) 在[a, c − δ ]和[c + δ ,b]上都可积，即存在[a, c − δ ]的一个划分 (1) P 和 [c + δ ,b]的一个划分 (2) P ，使得 3 , 3 (1) (1) (2) (2) ε ω ε ∑ω ∆ < ∑ ∆ < i i i i i i x x 。将 (1) P 、 (2) P 的分点合并在一起组成[ , a b]的一个划分P ，则 1 n i i i ω x = ∑ ∆ ≤ ε ε ε ε ∑ω ∆ + ∑ω ∆ + δ < + + = 3 3 3 4 (1) (1) (2) (2) x x M i i i i i i ， 所以 f x( )在[ , a b]上可积。 c = a 或c = b的情况可类似证明。 8．设 f (x)是区间[a,b]上的有界函数。证明 f (x)在[a,b]上可积的充分 必要条件是对任意给定的ε > 0与σ > 0，存在划分P ，使得振幅ω ≥ ε i 的 那些小区间[xi−1 , xi]的长度之和 ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x （即振幅不能任意小的那些小 207