解:(1)0≤f(x)<1,且f(x)在[0,1上的不连续点为x 2 x=0。VE>0,取定WJ(x)在区间[,1上只有有限个不连续点, 所以f(x)在[,上可积,即存在[,1的一个划分P,使得 Ax,<5,将P的分点和0合在一起,作为0,1划分P,则 xo'Ax=∑oAx+o,'Ax 由定理7.1.3,f(x)在[0,1上可积。 (2)因为对[0,1]的任意划分P,总有o=2,所以∑oAx1=2,由 定理712可知f(x)在[O,1上不可积 (3)因为对[0,1]的任意划分P,f(x)在[x1,x,]上的振幅为x,于是 △ xi(r 2 所以f(x)在[0,1上不可积 (4)-1≤f(x)≤1,且f(x)在[0,1]上的不连续点为x=1 与 x=0。VE>0,取定m>4,则f()在[,1上只有有限个不连续点, 所以x)在[上可积,即存在[,的划分P,使得∑A<三。 将P的分点与0合在一起作为0,1的划分P,则 ∑叫=Ax,+m4x、× 所以f(x)在[0,1上可积。 6.设f(x)在a,b上可积,且在[a,b上满足|f(x)m>0(m为常数), 206解：（1）0 ( ≤ f x) <1，且 f (x)在[0,1]上的不连续点为 1 1 1 , , , , 2 3 x n = " "与 x = 0。∀ε > 0，取定 ε 2 m > ， f (x)在区间 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的一个划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ < = n i i i x ，将P 的分点和 0 合在一起，作为[0,1]的划分P '，则 ε ε ε ∑ω′∆ ′ = ∑ω ∆ +ω′∆ ′ < + = = + = 2 2 1 1 1 1 1 x x x n i i i n i i i ， 由定理 7.1.3， f (x)在[0,1]上可积。 （2）因为对[0,1]的任意划分P ，总有 ωi = 2 ，所以 2，由 1 ∑ ∆ = = n i i i ω x 定理 7.1.2 可知 f (x)在[0,1]上不可积。 （3）因为对[0,1]的任意划分P ， f (x)在[xi−1 , xi]上的振幅为 xi，于是 ∑ ∑ ∑ ∑= − = − − = − = − = − + ∆ = − ≥ n i i i n i i i i i n i i i i n i i i x x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ω ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 = xn − x = ， 所以 f (x)在[0,1]上不可积。 （4）− ≤1 ( f x) ≤1，且 f (x)在[0,1]上的不连续点为 1 1 1 1, , , , , 2 3 x n = " "与 x = 0。∀ > ε 0，取定 ε 4 m > ，则 f (x)在 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ < = n i i i x 。 将P 的分点与 0 合在一起作为[0,1]的划分P '，则 ε ε ε ∑ω′∆ ′ = ∑ω ∆ +ω′∆ ′ < + = = + = 2 2 1 1 1 1 1 x x x n i i i n i i i ， 所以 f (x)在[0,1]上可积。 6. 设 f (x)在[ , a b]上可积，且在[ , a b]上满足| f (x) |≥ m > 0 （m为常数）， 206