从而0≤S(P)-S(P)<(p-1(M-m)6≤5 综合上面的结论,就有 ≤|-S(P)=-S(P)+[S(P)-S(P”)+[S(P)-S(P)<5+0+5=E, 即 lim S(P)=7 4.证明定理713。 证必要性是显然的,下面证充分性。 设vE>0,存在一种划分P,使得相应的振幅满足S。3 即(P)-S(P)<取8=mm△x,A2…,sx73p=M-m/,对任意 个满足=max(Ax)<6的划分 P <x,=b, 现将PP的分点合在一起组成新的划分P",则由 Darboux定理的证明 过程,可得 0≤S(P)-S(P)=[S(P)-S(P")]+[S(P")-S(P)+ [S(P)-S(P)]+[S(P)-S(P")]+[S(P")-S(P <E+0+2+0+E=E, 由定理71.1,可知f(x)在[a,b上可积。 5.讨论下列函数在[O,1]的可积性: ∫￥-Hx≠0 1,x为有理数 (1)f(x) (2)f(x)= 1,x为无理数; f(x) ∫0,x为有理数 jsgn(sin),x≠0 x,x为无理数; (4)f(x)= X=从而 2 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ε ≤ S P′′ − S P < p − M − m δ ≤ 。 综合上面的结论，就有 0 ≤ l − S(P) = [l − S(P′)]+[S(P′) − S(P′′)]+[S(P′′) − S(P)] ε ε ε < + + = 2 0 2 ， 即 S P = l → lim ( ) λ 0 。 ⒋ 证明定理 7.1.3。 证 必要性是显然的，下面证充分性。 设 ∀ε > 0，存在一种划分P′，使得相应的振幅满足 1 3 ε ∑ω′∆ ′ < = p i i i x ， 即 3 ( ) ( ) ε S P′ − S P′ < 。取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 3( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ，对任意一 个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b， 现将P′, P的分点合在一起组成新的划分P′′，则由 Darboux 定理的证明 过程，可得 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P ′ − ′ + ′ − ′′ + ′′ − ≤ − = − ′′ + ′′ − ′ + ε ε ε ε < + + + + = 3 0 3 0 3 ， 由定理 7.1.1，可知 f (x)在[a,b]上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 205