5,5=,5n…,必可取到5,使∑()x<+1不成立,从 而产生矛盾,所以f(x)必是a,b上的有界函数 3.证明 Darboux定理的后半部分:对任意有界函数f(x),恒有 limS(P)=l 证E>0,因为是S的上确界,所以彐S(P)∈S,使得 设划分P:a=x<x<x2<…<x=b,M,m是∫(x)的上、下确界,取 2(p-1)(M-m) 对任意一个满足A=max(Ax,)<d的划分 P:a=xo<x<x2<…<xn=b, 记与其相应的小和为S(P),现将P",P的分点合在一起组成新的划分 P”,则由引理71.1,S(P)-S(P)≤0。 下面来估计S(P)-S(P) (1)若在(x,x)中没有P的分点,则S(P),S(P)中的相应项相同 它们的差为零; (2)若在(x,x)中含有P的分点,由于两种划分的端点重合,所 以这样的区间至多只有p-1个。由δ的取法,可知 Ax1≤≤△x1,i=12,…,n,j=12,…,P, 所以在(x1,x)中只有一个新插入的分点x,这时S(P),S(P)中的相 应项的差为 [m(x2-x=1)+m7(x-x1)-m(x,-x1)≤(M-m(x,-x-1)<(M-m),1 1 1 , , , , , i i n ξ ξ ξ ξ " − + " ，必可取到ξ i，使 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 不成立，从 而产生矛盾，所以 f (x)必是[ , a b]上的有界函数。 ⒊ 证明 Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数 f (x)，恒有 lim ( ) λ→ = 0 S P l 。 证 ∀ε > 0，因为l是S的上确界，所以 ∃S(P′)∈S，使得 2 0 ( ) ε ≤ l − S P′ < 。 设划分P′ : a = x0 ′ < x1 ′ < x2 ′ < " < x′ p = b，M ,m是 f (x)的上、下确界，取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 2( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ， 对任意一个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P a x x x x b : = 0 < 1 < 2 < " < n = ， 记与其相应的小和为 S(P) ，现将 P′, P 的分点合在一起组成新的划分 P′′，则由引理 7.1.1，S(P′) − S(P′′) ≤ 0。 下面来估计S(P′′) − S(P)： （1）若在(xi−1 , xi)中没有P′的分点，则S(P′′), S(P)中的相应项相同， 它们的差为零； （2）若在(xi−1 , xi)中含有P′的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有 p −1个。由δ 的取法，可知 ∆xi ≤ δ ≤ ∆x′ j , i = 1,2,", n, j = 1,2,", p， 所以在(xi−1 , xi)中只有一个新插入的分点 j x′ ，这时S(P′′), S(P)中的相 应项的差为 [ ( ) ( )] ( ) −1 − − −1 ′ ′ − + ′′ − ′ i j i i i j i i i m x x m x x m x x ( )( ) ≤ − i − i−1 M m x x < (M − m)δ ， 204