第七章定积分 习题7.1定积分的概念和可积条件 用定义计算下列定积分 (1)∫。(ax+b)dx (2)Jat(a>0) 解(1)取划分:0<1<2<…<n-1<1,及5,=2(=121…,m),则 Ax,=1,于是∑a2+b)=2(+)+b a b→+b(n→>∞), 即 f(ax+b)dx=5+b (2)取划分:0<1<2×…<n-1<1,及5=2 n 于是∑a1=(-a。因为a 1→lna(n→∞),a→1(n→∞), n(I-a") 所以 1_a"(1-a) 即 In a n(I-a") na 2.证明,若对ab的任意划分和任意5∈[x,x,极限Im∑f() 都存在,则f(x)必是[a,b上的有界函数。 证用反证法。设Im∑f()x=1,则取E=1,3δ>0,对任意的划分P 与任意5∈x,x],只要A=mx(△x)<,就有∑/5)A<1+1 取定了划分后,n与Ax(=1,2.…n)也就确定,如果∫(x)在[a,b上无 界,则必定存在小区间[x1,x],f(x)在[x21,x上无界。取定第七章 定积分 习 题 7.1 定积分的概念和可积条件 1. 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). 解 （1）取划分： 1 1 2 1 0 < − < < < < n n n n " ，及 (i 1,2, , n) n i ξ i = = " ，则 n xi 1 ∆ = ，于是 ( ) 2 ) 1 (1 2 1 ( ) 1 ∑ + = + + → + → ∞ = b n a b n a n b n i a n i ，即 b a ax + b dx = + ∫ 2 ( ) 1 0 。 （2）取划分： 1 1 2 1 0 < − < < < < n n n n " ，及 (i 1,2, , n) n i ξ i = = " ，则 n xi 1 ∆ = ， 于是 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 n n n i n i n a a a n a − − ∑ = = 。因为 ln ( ) 1 1 1 → → ∞ − a n n a n ， 1 ( ) 1 a n → n → ∞ ， 所以 a a n a a a n a n n n i n i ln 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 − → − − ∑ = = ， 即 a a a dx x ln 1 1 0 − = ∫ 。 ⒉ 证明，若对[ , a b]的任意划分和任意ξ i ∈[ , x x i−1 i]，极限 都存在，则 必是[ , 上的有界函数。 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ f (x) a b] 证 用反证法。设 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ = I ，则取ε = 1,∃δ > 0，对任意的划分 与任意 P 1 [ , i i ]i ξ x x ∈ − ，只要λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x ， 就有 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 。 取定了划分后，n与 ( 1, 2, i ∆ = x i "n) ] 也就确定，如果 在[ , 上无 界，则必定存在小区间 f (x) a b] 1 [ , i i x x − ， f (x)在 1 [ , i i x x ] − 上无界。取定 203