利用被积函数和积分区域的对称性,即得 √eos2brdr (1 d (1+1) de 1+cos 20 丌1 例求椭球体 +二≤1的体积 解上半椭球面的方程为 图829 由椭球体关于三个坐标平面的对称性,即得 y dxd 其中g={(x,y)+s1,x≥20,y20}。 作广义极坐标变换: x= arcose =brsin e 则Oxy平面上区域g2相应于 (r,)10srs10≤6≤}° 又变换的 jacobi行列式为 D(x,y) acos 8 -arsin 0 =ab ,6) 0 brc 于是,经变量代换后可得 V=82d0 abcrv1-rdr 四.进一步的问题 作为本节讨论的继续,下一节将讨论三重积分的计算和重积分的应用。 五.习题 1.(1),(3),(5);2.(1),(3),(4);3;4;5;7.(1),(3),(4);8; 10:11:13。利用被积函数和积分区域的对称性，即得     2 2 2 (1 x y ) dxdy =       cos2 0 2 2 4 0 (1 ) 2 r rdr d        cos2 0 2 4 0 (1 t) dt d                    4 0 2 4 0 2cos 1 1 1 cos2 1 1       d d 2 1 4    。 例 求椭球体 1 2 2 2 2 2 2    c z b y a x 的体积。 解 上半椭球面的方程为 2 2 2 2 1 b y a x z  c   。 由椭球体关于三个坐标平面的对称性，即得      dxdy b y a V c 2 2 2 2 x 8 1 ， 其中           1,  0,  0 y ( , ) | 2 2 2 2 x y a b x x y 。 作广义极坐标变换：      sin . cos ,   y br x ar 则 Oxy 平面上区域  相应于           2 ( , ) | 0 1,0  r  r  。 又变换的 Jacobi 行列式为 abr b br a ar D r D x y         sin cos cos sin ( , ) ( , ) ， 于是，经变量代换后可得     1 0 2 2 0 V 8 d abcr 1 r dr   1 0 2 3 2 (1 ) 3 1 2 8 abc   r           abc 3 4  。 四．进一步的问题 作为本节讨论的继续，下一节将讨论三重积分的计算和重积分的应用。 五．习 题 1．（1），（3），（5）；2．（1），（3），（4）；3；4；5；7．（1），（3），（4）；8； 10；11；13