={(u2v)lp≤a≤q,a≤v≤b 从而区域Ω的面积为 [do D(x,dud dudy D(u,v) In g 三.极坐标系下二重积分的计算 从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当区域 边界或被积函数易于用极坐标表示时,采用极坐标往往能带来很大的便利 由直角坐标和极坐标的关系 =n2() 得 D(x,y) 6 6 D(r,6) 设函数∫定义于Oxy平面上的闭区域Ω2,g是 8.2.8 由在极坐标下满足r(O)≤r≤z()(a≤≤B)的 点组成。记 (r,6)|r1(6)≤r≤n2(O),a≤0≤B} 于是 ∫(x,y)do=』f(eos.rsd ∫db., f(rose, rsin O)rdr 6) 例计算二重积分 解显然,在极坐标下,积分区域可表示为 (,6)|0≤r≤a,0≤0<2m} 于是,作极坐标代换后即得 dxdy d=x(1-e-a) 例设Ω={(x,y)(x2+y2)2≤x2-y2,x≥0),计算二重积分 ddl 解用极坐标x= rcos e,y=rsn代入(x2+y2)2≤x2-y2,即得 2≤coθ。这样,原积分区域在极坐标下对应于 G)0srs√c020,-z≤s {(u,v)| p  u  q,a  v  b}。 从而区域  的面积为          dudv u dudv D u v D x y A d 3 1 ( , ) ( , )  = p b a q u du dv q p b a ln 3 3     。 三．极坐标系下二重积分的计算 从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当区域 边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。 由直角坐标和极坐标的关系        sin cos , y r x r 得 r r r D r D x y         sin cos cos sin ( , ) ( , ) 。 设函数 f 定义于 Oxy 平面上的闭区域  ， 是 由在极坐标下满足 ( ) ( ) r1   r  r2  （     ）的 点组成。记 {( , )| ( ) ( ), }   r  r1   r  r2      ， 于是    f (x, y)d   f (r cos ,rsin )rdrd    ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin )        r r d f r r rdr。 例 计算二重积分 e dxdy x y a x y      2 2 2 2 2 ( ) 。 解 显然，在极坐标下，积分区域可表示为 {(r,)| 0  r  a, 0   2}。 于是，作极坐标代换后即得 e dxdy x y a x y      2 2 2 2 2 ( ) d e rdr a r     0 2 0  2  (1 ) 2 2 1 2 2 0 0 a a r e d e           。 例 设 {( , ) | ( ) , 0) 2 2 2 2 2   x y x  y  x  y x  ，计算二重积分     2 2 2 (1 x y ) dxdy 。 解 用 极 坐 标 x  r cos ， y  rsin 代 入 2 2 2 2 2 (x  y )  x  y ，即得 r cos2 2  。这样，原积分区域在极坐标下对应于            4 4 ( , ) | 0 cos2 ,    r  r 