第5章 数理统计的基本概念 数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性影响的数据进行收集、 整理、分析和推断的学科，由于随机性现象广泛存在于工、农业生产、工程技术、自然 科学和社会科学等领域中，因此数理统计有着最广泛的应用。 5.1基本概念 1.总体和样本 在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素 称为个体。例如研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中 每个灯泡就是个体。 在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个 个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。在上例中，X即 指该批灯泡的寿命。对不同的个体，X的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个 个体就会得到X的一种数值但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值， 所以'是一个随机变量或随机向量，而X的分布也就完全描述了我们所关心的指标， 即总体的分布。为方便起见，以后我们将'的可能取值的全体组成的集合称为总体，或 直接称”为总体，的分布也就是总体的分布。 总体分布一般是全部或部分未知的，为了研究总体”的分布规律，我们需要对总体 进行若干次观察。由观察得到总体指标r的一组数值(：，，2，，x,),其中x,为第1次观 察结果，并称(x,x,…,x)为总体r的一组容量为n的样本观察值，样本观察值是对总 体分布进行分析、推断的基础。这种从总体中随机地抽出若干个个体进行观察或实验， 称为随机抽样观察，从总体中抽出的若干个个体称为样本，一般记为(X,X,…,) 而一次具体的观察结果(：，2，，x,)是完全确定的一组数值，但它又随着每次抽样观察 而改变。因此，容量为n的样本(，巧，，n)是n维随机向量，而具体的观察值(，5，， x)是随机变量（X,五，，X)的一个样本观察值。样本（X,五，，)所有可能取 值的全体称为样本空间，记为心，而样本观察值(x,,,)是八中的一个样本点。 随机抽样的目的是为了对总体X的分布进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能 很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本(X,,,X)满足： (1)具有代表性。即样本的每个分量X与X有相同的分布； (2)具有独立性。即X,2,,X是相互独立的随机变量，也就是说，n次观察值 之间是互相独立的： 满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单第 第 5 5 章 章 数理统计的基本概念 数理统计的基本概念 数理统计的基本概念 数理统计的基本概念 数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性影响的数据进行收集、 整理、分析和推断的学科，由于随机性现象广泛存在于工、农业生产、工程技术、自然 科学和社会科学等领域中，因此数理统计有着最广泛的应用。 5.1 5.1 基本概念 基本概念 1. 1. 总体和样本 在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素 称为个体。例如研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中 每个灯泡就是个体。 在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个 个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为 X 。在上例中， X 即 指该批灯泡的寿命。对不同的个体，X 的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个 个体就会得到 X 的一种数值但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值， 所以 X 是一个随机变量或随机向量，而 X 的分布也就完全描述了我们所关心的指标， 即总体的分布。为方便起见，以后我们将 X 的可能取值的全体组成的集合称为总体，或 直接称 X 为总体， X 的分布也就是总体的分布。 总体分布一般是全部或部分未知的，为了研究总体 X 的分布规律，我们需要对总体 进行若干次观察。由观察得到总体指标 X 的一组数值( x 1 , x 2 ,, x n ) ，其中 x i为第i 次观 察结果，并称( x 1 , x 2 ,, x n ) 为总体 X 的一组容量为 n 的样本观察值，样本观察值是对总 体分布进行分析、推断的基础。这种从总体中随机地抽出若干个个体进行观察或实验， 称为随机抽样观察，从总体中抽出的若干个个体称为样本，一般记为 (X1 , X 2 ,, X n ) ， 而一次具体的观察结果( x 1 , x 2 ,, x n ) 是完全确定的一组数值，但它又随着每次抽样观察 而改变。因此，容量为 n 的样本（X1, X2, …, Xn）是 n 维随机向量，而具体的观察值（ x1, x2, …, xn）是随机变量（X1, X2, …, Xn）的一个样本观察值。样本（X1, X2, …, Xn）所有可能取 值的全体称为样本空间，记为，而样本观察值（x 1, x2, …, xn）是中的一个样本点。 随机抽样的目的是为了对总体 X 的分布进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能 很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本（X1, X2, …, Xn）满足： （1）具有代表性。即样本的每个分量 Xi与 X 有相同的分布； （2）具有独立性。即 X1, X2, …, Xn是相互独立的随机变量，也就是说，n 次观察值 之间是互相独立的； 满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单