例10.3.3考察幂级数∑x”的收敛情况。 解因为 (n+1) n+1 n lim Im e n→ 所以收敛半径为R=1。 当x=时,∑x"是正项级数,由 Stirling公式(例9.5.5), (n→>∞) n+一 e Jn πn2e 可知∑x在x=时发散;例 10.3.3 考察幂级数∑ ∞ =0 ! n n n x n n 的收敛情况。 解 因为 n ∞→ lim n n a a +1 = n ∞→ lim ! )!1( )1( 1 n n n n n n + + + = e， 所以收敛半径为 R = e 1 。 当 x = e 1 时，∑∞ =0 ! n n n x n n 是正项级数，由 Stirling 公式（例 9.5.5）， n n x n n ! ～ n n n n n − + π e2 2 1 e 1 ⋅ = 2πn 1 ( n → ∞ ) 可知∑ ∞ =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 时发散；