第二节数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，掌握收敛数列的性质， 教学重点：数列极限的概念，收敛数列的性质 教学难点：数列极限的概念的理解 教学过程 一、数列极限的定义 极限概念是由于求某些实际问愿的精确解答而产生的。 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 一割圆术，就是极限思想在几何学上的应用 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A:再作内接正十二边形，其面积记 为A:再作内接正二十四边形，其面积记为A:循此下去，每次边数加倍，一般地把内接 正6×2一边形的面积记为A(n∈N).这样，就得到一系列内接正多边形的面积 AA,Ag.,A0, 它们构成一列有次序的数.当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆 面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，A,终究只是多边形的面 积，而还不是圆的面积.因此，设想无限增大（记为n→0，读作n趋于无穷大），即内接 正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A,也无限接 近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上 面这列有次序的数（所谓数列）A,A,A,A,当n→60时的极限。在圆面积问 题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，己成为高等数学中的一种基本方法，因此 有必要作进一步的阐明。 先说明数列的概念.如果按照某一法则，有第一个数，第二个数x2,这样依次序 排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数x。,那么，这列有次序的数 就叫做数列. 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项x叫做数列的一般项.例如： 第二节 数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，掌握收敛数列的性质。 教学重点：数列极限的概念，收敛数列的性质 教学难点：数列极限的概念的理解 教学过程： 一、数列极限的定义 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的． 例如，我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法— —割圆术，就是极限思想在几何学上的应用． 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为 A1 ；再作内接正十二边形，其面积记 为 A2 ；再作内接正二十四边形，其面积记为 A3 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接 正 1 6 2 −  n 边形的面积记为 A (n N) n  ．这样，就得到一系列内接正多边形的面积： A1，A2，A3，，An，， 它们构成一列有次序的数．当 n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 An 作为圆 面积的近似值也越精确．但是无论 n 取得如何大，只要 n 取定了， An 终究只是多边形的面 积，而还不是圆的面积．因此，设想无限增大（记为 n → ，读作 n 趋于无穷大），即内接 正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时 An 也无限接 近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上 面这列有次序的数（所谓数列） A1，A2，A3，，An，， 当 n → 时的极限．在圆面积问 题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积． 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此 有必要作进一步的阐明． 先说明数列的概念．如果按照某一法则，有第一个数 1 x ，第二个数 2 x ，.这样依次序 排列着，使得对应着任何一个正整数 n 有一个确定的数 n x ，那么，这列有次序的数 x1，x2，x3，，xn， 就叫做数列． 数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项 n x 叫做数列的一般项．例如：