解①设原矩阵为A,则A1=1,A2=-1,A=1,A2=2,伴随矩阵(-1-1 ,|A|=2+1=-1 所以,A1(-1 1(12 ②设原矩阵为A,则A1 32k5 (-15+14)=1, 38,A =-41,A 34 A =-27,A23= =29,A3 =24伴随矩阵A38-4134 2 2729-24 A|=-18-84100105+16+90=-1,所以,A3、1/-1 38-4134 3841-34 2729 2924 2.证明:上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是:它的主对角线元全不为零 证因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零,而上三角形矩阵的行列式等于 它的主对角线上所有元的乘积,所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是:它的 主对角线元全不为零,故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是:它的主对角线元全不为 零 3.设A是n×n矩阵.证明:A是可逆的,当且仅当A'也是可逆的 证因为A=|A|E,两边取行列式得|A||A'|=|A".若A可逆,则A的行列式|A 从而有|A'|=|A|≠0,所以A可逆. 反之,若A可逆,设A的逆阵为(A).用反证法,假设A不可逆,则A的行列式|A|=0, 所以AA=|A|E=0,对AA=0两边同时右乘(A),得A=0,从而A的任一n-1阶子式必为零 故A=0,这与A可逆相矛盾,因此A可逆 4.证明定理3.7.2的推论1 推论1的描述:设A是分块对角矩阵,A=diag(A,A2,…,A),证明:A可逆当且仅当 A1,A2,…,A均可逆,并且A=diag(A1,A2,…,A3) 证A可逆,当且仅当A的行列式|A|≠0,而|A|=A1||A2|…|A,所以|A|≠0当且仅当 A1|,|A2|,…,|A|都不为零,即A1,A,…,A,均可逆.令B=diag(A1,A23,…,A,),则有 A EL A E, A 故A=diag(A1,A23,…,A)解 ①设原矩阵为 A，则 A11=-1，A21=-1，A12=1，A22=2，伴随矩阵 A *=        1 2 1 1 ，|A|=-2+1=-1， 所以，A -1=         1 2 1 1 1 1 =      1  2 1 1 ②设原矩阵为 A，则 A11= 2 3 3 4   =-9+8=-1，A21= 2 3 5 7    =-（-15+14）=1， A31= 3 4 5 7 =20-21=-1，A12= 5 3 6 4  =38，A22= 5 3 2 7 =-41，A32= 6 4 2 7  =34， A13= 5 2 6 3 =-27，A23= 5 2 2 5  =29，A33= 6 3 2 5 =-24 伴随矩阵 A *=           27 29 24 38 41 34 1 1 1 ， |A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=            27 29 24 38 41 34 1 1 1 1 1 =           27 29 24 38 41 34 1 1 1 2.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零． 证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于 它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的 主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为 零． 3.设 A 是 n×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当 A *也是可逆的． 证 因为 AA *=|A|E，两边取行列式得|A||A *|=|A| n．若 A 可逆，则 A 的行列式|A|≠0， 从而有|A *|=|A| n-1≠0，所以 A *可逆． 反之，若 A *可逆，设 A *的逆阵为(A *) -1．用反证法，假设 A 不可逆，则 A 的行列式|A|=0， 所以 AA *=|A|E=0，对 AA *=0 两边同时右乘(A *) -1，得 A=0，从而 A 的任一 n-1 阶子式必为零， 故 A *=0，这与 A *可逆相矛盾，因此 A 可逆． 4.证明定理 3.7.2 的推论 1． 推论 1 的描述：设 A 是分块对角矩阵，A=diag(A1,A2,…,As)，证明：A 可逆当且仅当 A1,A2,…,As均可逆，并且 A -1=diag(A1 -1,A2 -1,…,As -1)． 证 A 可逆，当且仅当 A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A1||A2|…|As|，所以|A|≠0 当且仅当 |A1|，|A2|，…，|As|都不为零，即 A1,A2,…,As均可逆．令 B=diag(A1 -1,A2 -1,…,As -1)，则有 AB=       AS A A  2 1          1 1 2 1 1 As A A  =       ES E E  2 1 =E 故 A -1=diag(A1 -1,A2 -1,…,As -1)．