假设∫(x)在(a,b)内至多有n个零点 由∫f(x)t=0知,f(x)在(a,b)内必不能保持同号! 于是存在k个零点:x1<x2<…<x(1≤k≤n) 将[a,b分为(k+1)个小区间: (a,x1,(x1,x2),…,(xk-1,x4),(xk,b) 使∫(x)在每个小区间上不恒为零,且不改变符号,但在相邻两个小区间上 ∫(x)符号相异 构造函数:g(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xk)=∑1x 则g(x)在每个小区间上恒正或恒负,且在相邻两个小区间上符号相异 于是函数,(x(x)=∑x(x)在|b上连,且在(,.b 内保持一定的符号!从而有, f(x)g(x)d=∑a,xf(x)dtc≠0 这与条件:∫x∫(x)dx=0,(i=0,1,,…,n)矛盾! 所以,∫(x)在(a,b)内至少有(m+1)个零点。 n=0,1情况”的第二种证法: 法二:令F(x)=f(x)dt,G(x)+F(x)k, 因G(a)=G(b)=0,故存在∈(a,b),G'()=F(5)=0 又因F(a)=F(b)=F()=0,所以 存在x1,x2:a<x1<5<x2<b,F(x1)=F(x2)=0,即 ∫(x1)=∫(x2)=0假设 f ( x) 在 (a, b) 内至多有 n 个零点。 由  = b a f (x)dx 0 知， f ( x) 在 (a, b) 内必不能保持同号！ 于是存在 k 个零点： x1  x2  xk （ 1  k  n ） 将 [a,b] 分为 (k + 1) 个小区间： ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) a x1 x1 x2  xk−1 xk xk b 使 f ( x) 在每个小区间上不恒为零，且不改变符号，但在相邻两个小区间上 f ( x) 符号相异 构造函数： = = − − − = k i i g x x x x x x xk ai x 0 1 2 ( ) ( )( )( ) 则 g( x) 在每个小区间上恒正或恒负，且在相邻两个小区间上符号相异 于是函数： ( ) ( ) ( ) 0 f x g x a x f x k i i  i = = 在 [a,b] 上连续，且在 (a, b) 内保持一定的符号！ 从而有， ( ) ( ) ( ) 0 0 =     = k i b a i i b a f x g x dx a x f x dx 这与条件：  = b a i x f (x)dx 0 ，（ i = 0, 1, 2,  , n ）矛盾！ 所以， f ( x) 在 (a, b) 内至少有 (n + 1) 个零点。 “ n = 0, 1 情况”的第二种证法： 法二：令   = = x a x a F(x) f (x)dx, G(x) F(x)dx ， 因 G(a) = G(b) = 0 ，故存在  (a,b), G( ) = F( ) = 0 ． 又因 F(a) = F(b) = F( ) = 0 ，所以 存在 x1 , x2 : a  x1   x2  b， F(x1 ) = F(x2 ) = 0 ，即 f (x1 ) = f (x2 ) = 0．