所以,S()在唯一驻点r=5处取得最大值(5)≈100丌 故所求球面S,的半径为:r=5 所求球面S2的方程为:(x-3)2+(y-1)2+(z+1)2=25 、定积分证明 1.设f(x)在|a,b上连续,且∫x"∫(x)=0,(n=0,1,2,3) 问:f(x)在{a,b上至少有几个零点?并证明你的结论。 分析|如何寻求解答方案?一个自然的思路是考虑简单的情况。即 利用收编的手法,把问题简单化,去猜一个答案! (1)考虑“n=0”即f(x)在|a,1上连续,且Jf(x)ak=0 猜至少有一个零点 因为若∫(x)≡0,结论显然成立! 若f(x)≠0,由(x)=0,故f(x)在,1上不能 也不能恒负!又∫(x)在[a,b上连续,由介值定理,五x1∈(a,b), 使f(x1)=0 (2)再考虑“n=0,1”,即f(x)在{a,b]上连续,且 ∫(x)d=0,∫x(x)d=0 猜至少有两个零点 因为若x1是f(x)在(a,b)内的唯一零点,则 (x-x1)f(x)在{a,x1)U(x1,b上不变号,因此必有 ∫(x-x)/(x)d≠0 而由题设(x-x1)f(x)tx=」xf(x)dx-x1∫(x)dx=0 矛盾! 因而,至少存在x1,x2∈(a,b),x1≠x2,使 f(x1)=f(x2)=0 由上述讨论,猜想:当n=0,1,2,3时 f∫(x)在(a,b)内至少有四个零点 考虑更一般的情况:即 设∫(x)在|ab上连续,且∫xf(x)=0,(i=0,1,2,…,n) 证明f(x)在(a,b)内至少有(m+1)个零点 证|因为若∫(x)=0,结论显然成立! 设∫(x)≠0用反证法所以， S(r) 在唯一驻点 r = 5 处取得最大值 3 100 (5)  S = 故 所求球面 S2 的半径为 ： r = 5 所求球面 S2 的方程为 ： ( 3) ( 1) ( 1) 25 2 2 2 x − + y − + z + = 三、定积分证明 1．设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且  = b a n x f (x)dx 0 ，（ n = 0, 1, 2, 3 ） 问： f ( x) 在 [a,b] 上至少有几个零点？并证明你的结论。 [分析] 如何寻求解答方案？一个自然的思路是考虑简单的情况。即 利用收缩的手法，把问题简单化，去猜一个答案！ （1）考虑 “ n = 0 ”，即 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且  = b a f (x)dx 0 猜至少有一个零点 因为若 f (x)  0 ，结论显然成立！ 若 f (x)  0 ，由  = b a f (x)dx 0 ，故 f ( x) 在 [a,b] 上不能恒正， 也不能恒负！又 f ( x) 在 [a,b] 上连续，由介值定理， ( , ) x1  a b ， 使 f (x1 ) = 0。 （2）再考虑 “ n = 0, 1 ”，即 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且  = b a f (x)dx 0 ，  = b a x f (x)dx 0 猜至少有两个零点 因为若 1 x 是 f ( x) 在 (a, b) 内的唯一零点，则 ( ) ( ) x − x1 f x 在 [ , ) ( , ] a x1  x1 b 上不变号，因此必有  −  b a (x x1 ) f (x)dx 0 而由题设 ( − 1 ) ( ) = ( ) − 1 ( ) = 0    b a b a b a x x f x dx x f x dx x f x dx 矛盾！ 因而，至少存在 , ( , ) x1 x2  a b ， x1  x2 ，使 f (x1 ) = f (x2 ) = 0 由上述讨论，猜想：当 n = 0, 1, 2, 3 时， f ( x) 在 (a, b) 内至少有四个零点 考虑更一般的情况：即 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且  = b a i x f (x)dx 0 ，（ i = 0, 1, 2,  , n ） 证明 f ( x) 在 (a, b) 内至少有 (n + 1) 个零点。 [证] 因为若 f (x)  0 ，结论显然成立！ 设 f (x)  0 用反证法