n=0,1情况”的第三种证法: 法三:记o(x)=J0()m-xJ)m, d(x)=-f(x)t,(x)=-f(x) ∵(a)=Φ(b)=0 ∴彐ξ∈(a,b),使Φ(5)=0 又∵φ(a)=φ(b)=(5)=0 ∴彐x,x2,使a<x1<5<x2<b,Φ《(x1)=Φ"(x)=0 即f(x1)=f(x2)=0 2.设∫(x)是连续偶函数,∫(x)>0,且 g(x)= lx-tIf(rdt a≤x≤a (1)证明:g'(x)在-a,a叫上严格单调增 (2)求使g(x)在[-a,上取最小值的点; (3)若对任意a>0,均有mng(x)=f(a)-a2-1,求f(x) 解(1)因为 g(x)=(x-o)f(odt-(x-of(t)dt =xJ∫(0t-(+x」(o)-Jo(od 所以 g"(x)=f(n)d+f() g"(x)=2f(x)>0 从而得知g(x)在[-a,a上严格单调增。 (2)由于8(-0)=(o)m<0,g(a)=(nh>0,并且 g'(x)在|-a,a上严格单调增,所以g(x)在[-a,a]上有唯一的根,即“ n = 0, 1 情况”的第三种证法： 法三：记    = − x a x a (x) tf (t)dt x f (t)dt ， (x) f (x)dx, (x) f (x) x a  = −  = −    ． ∵ (a) = (b) = 0 ∴   (a, b) ， 使 ( ) = 0 又 ∵ (a) = (b) = ( ) = 0 ∴ 1 2  x , x ， 使 a  x1    x2  b， (x1 ) = (x2 ) = 0． 即 f (x1 ) = f (x2 ) = 0． 2．设 f ( x) 是连续偶函数， f ( x)  0 ，且 g x x t f t dt a −a ( ) = | − | ( ) ， − a  x  a （1） 证明： g( x) 在 [−a,a] 上严格单调增； （2） 求使 g( x) 在 [−a,a] 上取最小值的点； （3） 若对任意 a  0 ，均有 min ( ) ( ) 1 2 = − − −   g x f a a a x a ，求 f ( x) [解] （1）因为 −  = − − − x a a x g(x) (x t) f (t)dt (x t)f (t)dt     = − + − − − x a x a x a x a x f (t)dt tf(t)dt x f (t)dt tf(t)dt 所以    = + − x a x a g (x) f (t)dt f (t)dt g(x) = 2 f (x)  0 从而得知 g( x) 在 [−a,a] 上严格单调增。 （2）由于 (− ) = − ( )  0 − a a g a f t dt ， ( ) = ( )  0 − a a g a f t dt ，并且 g( x) 在 [−a,a] 上严格单调增，所以 g( x) 在 [−a,a] 上有唯一的根，即