g(x)在[-aa上有唯一的驻点,又 g(0)= f(odt+f(odt=lf(rdt+lf(odt=0 故x=0就是g(x)的唯一驻点,所以x=0使g(x)在-a,a]上取最小值。 (3)由(2),ming(x)=g(0),故g(0)=f(a)-a2-1。而 g(0)=-Lo(dt-fUf(dt=2f"tf(dt 所以2(=∫(a)-a2-1,从而 2qf(a)=f(a)-2a,或f'(a)=2af(a)+1 解此微分方程得 又f(0)=1,代入得C=2,从而f(x)=2e-1。 3.设∫(x)在[a,b上二阶可导,且∫"(x)<0,试证: f()dx s(b-a)fa+b [证]利用泰勒公式: 令“+b =x,写出∫(x)在点x处的带拉格朗日余项的一阶 2 泰勒公式f(x)=(x)+r(x)x-x)+152(x-x) 因为∫"(x)<0,所以有f(x)<f(x0)+f'(x0)(x-x0) 再利用定积分的性质,得到 ∫(xk<」/(x)+r(x,x-x 因为 f(x0)t=f(x0)(b-a)=(b-a)/+b ∫r(xXx-x)d=/f(x)∫x a+b 2 ∫(x(a+by=0g( x) 在 [−a,a] 上有唯一的驻点，又 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0  = + = + = −   a a a a g f t dt f t dt f t dt f t dt 故 x = 0 就是 g( x) 的唯一驻点，所以 x = 0 使 g( x) 在 [−a,a] 上取最小值。 （3）由（2）， min g(x) g(0) a x a = −   ，故 (0) ( ) 1 2 g = f a − a − 。而    = − − = − a a a g tf t dt tf t dt tf t dt 0 0 0 (0) ( ) ( ) 2 ( ) 所以 2 ( ) ( ) 1 2 0 = − −  tf t dt f a a a ，从而 2af (a) = f (a) − 2a ，或 f (a) = 2a[ f (a) + 1] 解此微分方程得 2 ( ) 1 a f a + = Ce 又 f (0) = 1 ，代入得 C = 2 ，从而 ( ) 2 1 2 = − x f x e 。 3． 设 f ( x) 在 [a,b] 上二阶可导，且 f (x)  0 ，试证： ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a +  −  . [证] 利用泰勒公式： 令 0 2 x a b = + ，写出 f ( x) 在点 0 x 处的带拉格朗日余项的一阶 泰勒公式 2 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x f x f x x x −  = +  − +  因为 f (x)  0 ，所以有 ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x  f x + f  − 再利用定积分的性质，得到     +  − b a b a b a f (x)dx f (x0 )dx f (x0 )(x x0 )dx 因为 ) 2 ( ) ( )( ) ( ) ( 0 0 a b f x dx f x b a b a f b a + = − = −  ) 0 2 ( 2 1 ( ) ) 2 ( )( ) ( ) ( 2 0 0 0 0 = + =  − +  − =  −   b a b a b a a b f x x dx a b f x x x dx f x x