故有 f(x)ax <(b-af(76 2 4.设∫(x)在{a,b上连续且单调增,证明: a+b xf(x)dx≥ f(r)d 证法一1利用变上限定积分,利用单调性: 令F(x)-∫0m-“2xJ:/o)m,xel 因为∫(x)在{a,b上连续,故有 F'(x)=xf(x)-f(r)dt f∫(x) f(tdt 2 ff(x)-f(dt 又因为∫(x)在[a,b上单调增,故有F'(x)≥0,从而, F(x)在{a,b上单调增 又F(a)=0,所以有F(b)≥F(a)=0,即 x(x)ht公Q+b 2(rde 证法二|利用定积分的性质: 因为∫(x)在a,b上单调增,故有 (x~+b a+b )(∫(x)-f()≥0 从而有(x )(f(x)-f()d≥0 注意到j(x-2)")dt=0,从而,/(x-a+ba+b1=0 a+b 于是有(x )f(x)dx=0,即故有 ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a +  −  4． 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续且单调增，证明：   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) . [证法一] 利用变上限定积分，利用单调性： 令   + = − x a x a f t dt a x F x tf t dt ( ) 2 ( ) ( ) ， x [a,b] 因为 f ( x) 在 [a,b] 上连续，故有    = − − − = +  = − − x a x a x a f x f t dt f x f t dt x a f x a x F x xf x f t dt [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 又因为 f ( x) 在 [a,b] 上单调增，故有 F(x)  0 ，从而， F( x) 在 [a,b] 上单调增 又 F(a) = 0 ，所以有 F(b)  F(a) = 0 ，即   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法二] 利用定积分的性质： 因为 f ( x) 在 [a,b] 上单调增，故有 )) 0 2 )( ( ) ( 2 (  + − + − a b f x f a b x 从而有 )) 0 2 )( ( ) ( 2 (  + − + −  b a dx a b f x f a b x 注意到 ) 0 2 ( = + −  b a dx a b x ，从而， ) 0 2 ) ( 2 ( = + + −  b a dx a b f a b x 于是有 ) ( ) 0 2 ( = + −  b a f x dx a b x ， 即