a+b xf(x)x f(r)de 证法三利用积分中值定理: a+b of(r)de a+b +b )∫(x)x+(x-2)f(x)ld (r=+b )dx+f(52)(x-a+6 (其中,a≤51sa+b ≤l,≤b) (r=a+b a+b 而 2)d=(x 因为∫(x)在[ab上单调增,且51≥2,所以,f(5)1≥∫(5)2 a+b 从而(x )f(x)d=aI∫(51)-∫(52川(b-a)2≥0 a+b xf(x)t≥ f(rdx 证法四 因为∫(x)在[a,b上单调增,所以,Ⅶ,x∈{a,b有 (t-xlJf(t)-∫(x)≥0 固定x,对t积分,得 ∫ot-x(m+y(xb-a-f(x)∫th0 即∫.)d-J()m+y(xb-)-f(x)2(62-a2)20 再对x积分,得 (b-a yf(odt-(b2-a2)f(odt +(b-a)xf(x)d 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质,得到  +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法三] 利用积分中值定理：      + + + + + + − + = − + + − + = − + − b a b a b a a b a b a b a b dx a b dx f x a b f x f x dx a b f x dx x a b x f x dx a b x 2 2 2 2 ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) 2 (  1  2 （ 其中， b a b a   +  1  2 2   ） 而 2 ( ) 8 1 ) 2 ) ( 2 ( 2 2 dx b a a b dx x a b x b a a b a b = − + = − + −   + + 因为 f ( x) 在 [a,b] 上单调增，且  1   2 ，所以， 1 2 f ()  f () 从而 [ ( ) ( )]( ) 0 8 1 ) ( ) 2 ( 2 = 1 − 2 −  + −  f x dx f f b a a b x b a   即   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法四] 因为 f ( x) 在 [a,b] 上单调增，所以， t ， x [a,b] 有 (t − x)[ f (t) − f (x)]  0 固定 x ，对 t 积分，得 ( ) − ( ) + ( )( − ) − ( )  0    b a b a b a t f t dt x f t dt xf x b a f x tdt 即 ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 − + − − −    t f t dt x f t dt xf x b a f x b a b a b a 再对 x 积分，得 ( ) ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 − −  − − − + −     b a b a b a b a b a f x dx b a t f t dt b a f t dt b a xf x dx 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到