为标准型,求出相应的正交变换矩阵T.(2013年湖南大学 20.设二次型f(x1,x2)=ar1+2bx1x2+cn2,求二次型 0 的矩阵并证明,x)是正定的当且仅当x2)是定的(20年湖师大学 1.设A=(an)nxn是实对称矩阵,证明:二次型 x1a11a12 f(ar En an1 an2 的矩阵是A的伴随矩阵A·.(2009年湖南师范大学) 2.设n(n≥3)元实二次型 ∫(x1,x2,……,xn) +x1x3+ lIn+I2I3 (1)当n=3时,用非退化线性替换化f(x1,x2,…,xn)为规范型 (2)当n>3时,用非退化线性替换化f(x1,x2…,xn)为规范型.(2013年湖南师范大学) 3.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=(1+t)r2+2n2+(1+t)x3+x1x2+2(1-t)x1x3 的秩为 (1)求t的值 (2)求正交线性替换,使二次型f(x1,x2,x3)为标准型.(2016年湖南师范大学) 24.设4元二次型 f(x1,x2,x3,x4)=2∑x2-2(x1x2+x2x3+x3x4+x4x1) i=1 试用正交线性替换化二次型为标准型,并求它的正、负惯性指数以及符号差.(2009年华东师范大学) ∫(x1;,x2,…,xn)=∑∑aj工;èIO., ¶—ÉACÜ› T. (2013cHåÆ) 20. g.f(x1, x2) = ax2 1 + 2bx1x2 + cx2 2 , ¶g. g(x1, x2) =         0 x1 x2 −x1 a b −x2 b c         › , øy²f(x1, x2)¥½Ö=g(x1, x2)¥½. (2009cHìâåÆ) 21. A = (aij )n×n¥¢È°› , y²: g. f(x1, x2, · · · , xn) =              0 x1 x2 · · · xn x1 a11 a12 · · · a1n x2 a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . xn an1 an2 · · · ann              › ¥Aäë› A∗ . (2009cHìâåÆ) 22. n(n ≥ 3)¢g. f(x1, x2, · · · , xn) = x1x2 + x1x3 + · · · + x1xn + x2x3. (1)n = 3û, ^öÚzÇ5OÜzf(x1, x2, · · · , xn) è5â.; (2)n > 3û, ^öÚzÇ5OÜzf(x1, x2, · · · , xn) è5â.. (2013cHìâåÆ) 23. Æ¢g. f(x1, x2, x3) = (1 + t)x 2 1 + 2x 2 2 + (1 + t)x 2 3 + x1x2 + 2(1 − t)x1x3 ùè2. (1)¶tä; (2)¶Ç5OÜ, ¶g.f(x1, x2, x3)èIO.. (2016cHìâåÆ) 24. 4g. f(x1, x2, x3, x4) = 2 P 4 i=1 x 2 i − 2(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1) £^Ç5OÜzg.èIO., ø¶ß!K.5çͱ9Œ“. (2009cu¿ìâåÆ) 25.  f(x1, x2, · · · , xn) = Pn i=1 Pn j=1 aijxixj 8 厦门大学《高等代数》