在数学分析中,经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题.设{f(x)}是 [a,b]上的连续函数列并且 lim f,(x)=f(x),wx∈[a,b]一般情况下,f(x)未必在 a,b]上可积.即使∫(x)在[a,b]上可积,也未必成立 lm∫。(x=” 为使∫(x)在[a,b上可积并且(2)成立,充分条件是{f(x)}在[a,b]上一致收敛于 f(x)(这不是必要条件,例如考虑函数[0,1上的函数列fn(x)=x"(n=1,2,…)这个条 件太强并且不易验证 3.可积函数空间的完备性 设R[a,b]是[{a,b]上 Rieman可积函数的全体.在R{a,b上定义距离 d(g)=(/(x)=g(x)p dx)2,/,geR[a,bl 则R[a,b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述).设{fn}是R[a,b中序列, f∈R[a,b.若limd(n,∫)=0,则称{fn}按距离收于∫.R[a,b]中序列{n}称为是 Cauchy序列,若对任意E>0,存在N>0,使得当m,n>N时,d(m,J)<E.有例子 表明,在R[a,b]中并非每个 Cauchy序列都是收敛的,即R[a,b]不是完备的空间.而空间 的完备性在泛函分析理论中是非常重要的.因此R[a,b]不是作为研究对象的理想空间 以上几点表明, Riemann积分有不少缺陷,这就限制了 Riemann积分的应用,因此有必 要加以改进.二十世纪初,法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论,称之 为 Lebesgue积分. Lebesgue积分理论是 Riemann积分理论的推广和发展.并且克服了 Riemann积分的上述缺陷 Lebesgue积分的大体思路.设f(x)为[a,b]上的有界实值函数.前面已经提到,为 使f(x)在[a,b]上 Riemann可积,必须 im∑(M-m1)x-x)=0 这样就要求振幅M,-m1比较大的那些小区间[x21,x的长度之和很小.因此那些在很多地 方振幅很大的不连续函数就不可积了 为了使得很多连续性不好的函数也可积, Lebesgue提出了一种新的积分思想.主要想II 在数学分析中, 经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题. 设{ f (x)} n 是 [a, b] 上的连续函数列,并且 lim ( ) ( ), n n f x fx →∞ = ∀ ∈x [ , ]. a b 一般情况下, f (x) 未必在 [a, b] 上可积. 即使 f (x) 在[a, b] 上可积, 也未必成立 lim ( ) ( ) . b b n n a a f x dx f x dx →∞ ∫ ∫ = 为使 f (x) 在 [a, b] 上可积并且(2)成立, 充分条件是 { f (x)} n 在 [a, b] 上一致收敛于 f (x) (这不是必要条件, 例如考虑函数[0, 1]上的函数列 n n f ( ) x) = x (n = 1, 2," ). 这个条 件太强并且不易验证. 3. 可积函数空间的完备性. 设 R[a, b]是[a, b] 上 Riemann 可积函数的全体. 在 R[a, b]上定义距离 1 2 2 ( , ) ( () () ) b a d f g f x g x dx = − ∫ , f , ] g ∈ R[a, b . 则 R[a, b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述). 设{ }n f 是 R[a, b]中序列, f ∈ R[a, b]. 若 lim ( , ) = 0, →∞ d f f n n 则称{ }n f 按距离收于 f . R[a, b]中序列{ }n f 称为是 Cauchy 序列, 若对任意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 m,n > N 时, ( , ) < ε. m n d f f 有例子 表明, 在 R[a, b]中并非每个 Cauchy 序列都是收敛的, 即 R[a, b]不是完备的空间. 而空间 的完备性在泛函分析理论中是非常重要的. 因此 R[a, b]不是作为研究对象的理想空间. 以上几点表明, Riemann 积分有不少缺陷, 这就限制了 Riemann 积分的应用, 因此有必 要加以改进. 二十世纪初, 法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论, 称之 为 Lebesgue 积分. Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广和发展. 并且克服了 Riemann 积分的上述缺陷. Lebesgue 积分的大体思路. 设 f (x) 为[a, b] 上的有界实值函数. 前面已经提到, 为 使 f ( ) x 在[a, b] 上 Riemann 可积, 必须 ∑= − → − − = n i i i i i M m x x 1 1 0 lim ( )( ) 0 λ . 这样就要求振幅 Mi i − m 比较大的那些小区间 1 [ ,] i i x x − 的长度之和很小. 因此那些在很多地 方振幅很大的不连续函数就不可积了. 为了使得很多连续性不好的函数也可积, Lebesgue 提出了一种新的积分思想. 主要想