法就是不从分割区间[a,b]着手,而是从分割函数的值域出发.为简单计,这里只考虑 f(x)≥0的情况.注意到 Riemann积分的几何意义就是曲线y=f(x)的下方图形 G()={(x,y):a≤x≤b,0≤y≤f(x)}的面积.因此可以用下面的方式计算G()面积 令 m=inf{f(x):x∈[a,b]},M=sup{f(x):x∈[a,b]} 对[m,M]的任意一个分划m=y<y1<…<y=M,令 E={x∈[a,b]:y1≤f(x)<y},i=1,2 则E是区间[m,M的子集用E表示E的“长度”。作和式 y-E 它相当于G(的一个近似值(如图) V4 f(x) yo EL E E2 E3 E4 E3=ESUE3 令=max{y-y1:1≤i≤n}.则定义f(x)在[a,6上的 Lebesgue积分为 ①)J(x=m∑m-|E (如果上述极限存在)这样定义积分的好处在于,由于在每个E1上,f(x)的振幅小于 因此很多连续性不好的函数(例如 Dirichlet函数)也可积了 但是按照 Lebesgue的方式定义积分有一个很大的困难,就是要给出E的意义E 应该是一种类似区间长度的东西.但是一般情况下,E不是区间,甚至也不是有限个不相 交区间的并因此必须对直线上比区间更一般的集E,给出一种类似于区间长度的度量为 此, Lebesgue建立了测度理论,并且在测度理论的基础上,建立了 Lebesgue积分理论 Lebesgue积分理论为的建立近代分析理论打下了坚实的基础III 法就是不从分割区间[a, b] 着手, 而是从分割函数的值域出发. 为简单计, 这里只考虑 f x() 0 ≥ 的情况. 注意到 Riemann 积分的几何意义就是曲线 y fx = ( ) 的下方图形 Gf xy a x b y f x ( ) {( , ) : ,0 ( )} = ≤≤ ≤≤ 的面积. 因此可以用下面的方式计算G f ( ) 面积. 令 m f x x ab = inf{ ( ) : [ , ]}, ∈ M = sup{ ( ) : [ , ]}. f x x ab ∈ 对[, ] m M 的任意一个分划 my y y M =<<< = 0 1 " n , 令 1 { [ , ]: ( ) }, E x ab y f x y i ii =∈ ≤ < − i n =1,2, , " . 则 Ei 是区间[, ] m M 的子集. 用 Ei 表示 Ei 的“长度”. 作和式: 1 1 . n i i i y E − = ∑ 它相当于G f ( )的一个近似值(如图). 令 max{ :1 } i i 1 λ y y in = − ≤≤ − . 则定义 f ( ) x 在[,] a b 上的 Lebesgue 积分为: 1 0 1 (L) ( ) lim . n b i i a i f x dx y E λ − → = ∫ = ∑ (如果上述极限存在). 这样定义积分的好处在于, 由于在每个 Ei 上, f ( ) x 的振幅小于 λ, 因此很多连续性不好的函数(例如 Dirichlet 函数)也可积了. 但是按照 Lebesgue 的方式定义积分有一个很大的困难, 就是要给出 Ei 的意义. Ei 应该是一种类似区间长度的东西. 但是一般情况下, Ei 不是区间, 甚至也不是有限个不相 交区间的并. 因此必须对直线上比区间更一般的集 E , 给出一种类似于区间长度的度量.为 此, Lebesgue 建立了测度理论, 并且在测度理论的基础上, 建立了 Lebesgue 积分理论. Lebesgue 积分理论为的建立近代分析理论打下了坚实的基础. O x y f ( ) x 1 y 2 y 3 y M 4 =y m y = 0 E1 1 2 EEE 2 22 = ∪ E4 1 E2 2 E2 1 E3 2 E3 1 2 E EE 3 33 = ∪ a b