多项式函数有个重要代数性质:两个多项式函数之积仍为一多项式函数,再加上它的 加法运算,它构成一个环,是交换代数研究的对象。 有理函数y P)’P(x),Q(x)都是多项式函数,通常我们假定P(x)和Q(x) 没有非零次的公因式。由于零不能做分母,有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零 有理函数的图形一般是比较复杂的,下面是y=x一的图形,想一想是怎样画出 来的。 2500 5000 有了计算机以后,现在很多数学软件,比如 Mathematica, Maple等,用它们画图是 很容易的。打开 Mathematica窗口,用如下命令就可画出上面图形 Plot ly=x2/(x-1)^3,{x,0,2}, Plotrange->{-7500,7500}] 然后同时按 Shift和 Enter键,就大功告成了 但是请君不要忘记,软件是人编的,数学理论和方法才是软件的灵魂! 幂函数y=x2,0<x<+∞,a≠0。如果α=1,2,3,…,它就是单项式函数的 半,这里我们研究一般的α≠0,它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单,比 如√2如何定义都很难说清楚,要等到第三册才能给出严格定义,其实√2本身的定 义也需建立实数理论以后才能说清楚。现在可以用进小数逼近来描述它:√2可被1,1,4, 41,1.414,任意逼近,π可被3,3.1,3.14,3.141,,,任意逼近,而13,1431 141314,141414是可以定义的,它们可以任意地逼近一个实数,我们把这个实数理解为 下面图中给出y=x,x2,x+,x四个幂函数的图形。(见下页)3 多项式函数有个重要代数性质： 两个多项式函数之积仍为一多项式函数， 再加上它的 加法运算，它构成一个环，是交换代数研究的对象。 有理函数 ( ) ( ) P x Q x y = , P( x) ， Q(x) 都是多项式函数， 通常我们假定 P( x) 和Q(x) 没有非零次的公因式。由于零不能做分母，有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零 点。 有理函数的图形一般是比较复杂的，下面是 3 2 ( -1) = x x y 的图形， 想一想是怎样画出 来的。 0.5 1 1.5 2 -7500 -5000 -2500 2500 5000 7500 有了计算机以后，现在很多数学软件， 比如 Mathematica，Maple 等，用它们画图是 很容易的。 打开 Mathematica 窗口，用如下命令就可画出上面图形 Plot[y=x^2/(x-1)^3,{x, 0,2},PlotRange->{-7500,7500}] 然后同时按 Shift 和 Enter 键, 就大功告成了。` 但是请君不要忘记，软件是人编的， 数学理论和方法才是软件的灵魂！ 幂函数 a y = x , 0 < x < +¥ ,a ¹ 0 。如果a = 1,2,3,..., 它就是单项式函数的一 半，这里我们研究一般的 a ¹ 0，它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单，比 如 p 2 如何定义都很难说清楚， 要等到第三册才能给出严格定义，其实 2 本身的定 义也需建立实数理论以后才能说清楚。 现在可以用进小数逼近来描述它： 2 可被 1,1.4, 1.41, 1.414,...任意逼近，p 可被 3, 3.1, 3.14, 3.141,...任意逼近，而 3 1 , 3.1 1.4 , 3.14 1.41 , 3.141 1.414 是可以定义的，它们可以任意地逼近一个实数，我们把这个实数理解为 p 2 。 下面图中给出 y = x , 2 x , 2 1 x , -1 x 四个幂函数的图形。（见下页）