这里，量子数m1,2,g=0,士1，士2，…。当粒子同时有自旋自由度时，我 们可将体系的单粒子态改写为 we)=即（受ar+g+)) 1 e名=不即(2mr+a+m)们） (19) 下面，我们用记号k=(,2,n3,o)来简记本征态的量子数，而用q来标记 其自由度（红，弘，云，s,$)。当我们对q积分时，∫g应理解为对r求积分，而对 内部自由度求和，利用Kronecker符号，我们可将单粒子态的正交归一条件写 成 da pi (q)pa(q)=8mka. (20) 例1.2：在一维谐振子势V(x)=w2x2中运动的粒子的全部定态本征函数 可被写作： -(偿)”ma(6骨.-012 (21) 其中Hn(x)为厄密多项式。它们是Schrǒdinger方程 2m惊a)+2mu2ra(回)=E(回 n2 d (22) 在无穷远处为零的正交归一解。按照量子力学的基本原理，Schrodinger方程 (22)的任何一个解，都可以按照这些函数作展开，即 红，)=∑am.倒ep(-会) (23) 最后，我们要介绍一个下面常要用到的恒等式 ∑Pe9)piq）=∑4 lq）)=6r-r)6,s=i4-q. (24 证明：按照Dirac函数的定义，对于任何一个单粒子波函数p(q,t),恒等 式 dav(a.t)6(d-)=(d,t) (25) 4Iv~`Y n1, n2, n3 = 0, ±1, ±2, · · · · · ·
tz`jI1aa0Iw lPg|yqz`bÆr ϕe(n1,n2,n3,↑)(x, y, z, ↑) = 1 √ V exp  i 2π L (n1x + n2y + n3z)  1 0 ! ϕe(n1,n2,n3,↓)(x, y, z, ↓) = 1 √ V exp  i 2π L (n1x + n2y + n3z)  0 1 ! . (19) ~w/E- k = (n1, n2, n3, σ) sMEBMby~`Y / q sKE "a0 (x, y, z, s, sz)
tw q ?I R dq .uYr r ,?  Ta0,.
w/ Kronecker -wlPqz`byOR)#hOÆ ` Z dq ϕ∗ k1 (q)ϕk2 (q) = δk1,k2 . (20)  1.2: ?#s K`Q V (x) = 1 2mω2x 2 Z=yz`y1T
bBM,Y lAÆh ψn(x) = mω πh¯ 1/4 1 2 n/2 √ n! e −mωx2/2¯hHn  x rmω h¯  , n = 0, 1, 2, · · · (21) "Z Hn(x) r N
aR Schr¨odinger b − h¯ 2 2m d 2 dx2 ψn(x) + 1 2 mω2 x 2ψn(x) = Enψn(x) (22) ?x*;fryOR)#Y
;G~`{y>B9u Schr¨odinger b (22) y8/#Yl';GI,YhBhA ϕ(x, t) = X n anψn(x) exp  −i En h¯ t  . (23) f4w [C#~[ /vy3zN X k ϕk(q ′ )ϕ ∗ k (q) ≡ X k hq ′ |ϕkihϕk|qi = δ(r ′ − r)δs ′s ≡ δ(q ′ − q). (24) 6 ;G Dirac ,Yy
+48/#qz`Q,Y ϕ(q, t) 3z N Z dq ϕ(q, t) δ(q ′ − q) = ϕ(q ′ , t) (25) 4