在V的一组基61,62,…En,对V中任意向量a=∑x,B=∑y,有 f(a,B)=x1y+x2y2+…+x,y(0≤r≤m) 推论2设是实数n上维线性空间,f(a,B)是V上对称双线性函数,则存 在V的一组基E1,62,…,En对V中任意向量a=∑xE,B=∑yE1,有 f(a,B)=x1y+…+xpy-xpm1y+1-…-x,y(0≤p≤r≤n) 对称双线性函数与二次齐次函数是1-1对应的 定义7设V是数域P上线性空间,f(a,B)是V上双线性函数当a=B时, V上函数f(a,a)称为与f(a,B)对应的二次齐次函数 给定上一组基61,…En,设f(a,B)的度量矩阵为A=(2)对中任 意向量a=∑x,6,有 f(a,a)=∑∑ax (5) 式中x,x,的系数为an+an因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为 (n)及B=() 只要 b+b, i,j=1, 2, 那么它们对应的二次齐次函数就相同,因此有很多双线性函数对应于同一个二次 齐次函数,但是如果要求A为对称矩阵,即要求双线性函数为对称的,那么一个 次齐次函数只对应一个对称双线性函数从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达 式就是以前学过的二次型它与对称矩阵是1-1对应的,而这个对称矩阵就是唯 的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数 定理6设f(a,B)是n维线性空间V上的反对称双线性函数,则存在V的 组基E1,E1…E,E,71…,使在 V 的一组基 n  , , , 1 2  ，对 V 中任意向量   = = = = n i i i n i i i x y 1 1   ,   ，有 ( , ) (0 ) f   = x1 y1 + x2 y2 ++ xr yr  r  n . 推论 2 设 V 是实数 n 上维线性空间， f (,  ) 是 V 上对称双线性函数，则存 在 V 的一组基 n  , , , 1 2  ，对 V 中任意向量   = = = = n i i i n i i i x y 1 1   ,   ，有 ( , ) (0 ) f   = x1 y1 ++ x p y p − x p+1 y p+1 −− xr yr  p  r  n . 对称双线性函数与二次齐次函数是 1—1 对应的. 定义 7 设 V 是数域 P 上线性空间， f (,  ) 是 V 上双线性函数.当  =  时， V 上函数 f (,) 称为与 f (,  ) 对应的二次齐次函数. 给定 V 上一组基 n  , , , 1 2  ，设 f (,  ) 的度量矩阵为 ( ) n n A aij  = .对 V 中任 意向量 = = n i i i x 1   有 = = = n i n j ij i j f a x x 1 1 (,) . (5) 式中 i j x x 的系数为 aij + a ji .因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为 ( ) n n A aij  = 及 ( ) n n B bij  = 只要 aij + a ji = bij + bji , i, j = 1,2,  ,n , 那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次 齐次函数，但是如果要求 A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个 二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达 式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是 1—1 对应的，而这个对称矩阵就是唯 一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数. 定理 6 设 f (,  ) 是 n 维线性空间 V 上的反对称双线性函数，则存在 V 的一 组基 r r  s  , , , , , , , 1 −1  − 1  使