f(a,B)=-f(,a) 则称f(a,B)为反对称双线性函数 设f(a,B)是线性空间T上的一个对称双线性函数,对V的任一组基 ,由于 f(E1,E1)=f(E,E) 故其度量矩阵是对称的,另一方面,如果双线性函数f(a,B)在E1,E2,…En下的 度量矩阵是对称的,那么对V中任意两个向量a=(1,E2…,En)X及 B=(E1,E2…,EnY都有 f(a,B)=XAr=rAX=rAX=f(B, a) 因此f(a,B)是对称的,这就是说,双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组 基下的度量矩阵是对称的 同样的,双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是 反对称矩阵 我们知道,欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数,而且它在任一基下的度 量矩阵是正交矩阵 定理5设V是数域P上n维线性空间,f(a,B)是V上对称双线性函数,则 存在V的一组基E1,E2,…,En,使f(a,B)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵 如果∫(α,B)在E1E2…n下的度量矩阵为对角矩阵,那么对 ∑x:F,B=∑ f(a,B)有表示式 f(a,B)=d xy,+d2x2y2+.+d, x,y 这个表示式也是f(a,B)在E1,E2,…,En下的度量矩阵为对角形的充分条件 推论1设W是复数上n维线性空间,f(a,B)是V上对称双线性函数,则存f (,  ) = − f (,) 则称 f (,  ) 为反对称双线性函数. 设 f (,  ) 是线性空间 V 上的一个对称双线性函数，对 V 的任一组基 n  , , , 1 2  ，由于 ( , ) ( , ) i j j i f   = f   故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的 度量矩阵是对称的，那么对 V 中任意两个向量  = ( 1 , 2 ,  , n )X 及  = ( 1 , 2 ,  , n )Y 都有 f (,  ) = X AY = YAX = YAX = f (,) . 因此 f (,  ) 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组 基下的度量矩阵是对称的. 同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是 反对称矩阵. 我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度 量矩阵是正交矩阵. 定理 5 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， f (,  ) 是 V 上对称双线性函数，则 存在 V 的一组基 n  , , , 1 2  ，使 f (,  ) 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 如 果 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的度量矩阵为对角矩阵，那么对   = = = = n i i i n i i i x y 1 1   ,   , f (,  ) 有表示式 n n n f = d x y + d x y ++ d x y 1 1 1 2 2 2 (, ) . 这个表示式也是 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的度量矩阵为对角形的充分条件. 推论 1 设 V 是复数上 n 维线性空间， f (,  ) 是 V 上对称双线性函数，则存