Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU (2)矢量A(q1,q2,q)=A+A2+Ae3的散度V·A是一个标量,定义为 以S记体积元的边界面,dS表示大小为dS,方 向为面积元外法线方向的矢量,则∫4ds是A 通过边界面S的通量,而a(q,q2,q)点的散度是 VA=[Ads/da 通过坐标面q1的通量是[(-A1)2dq2hdg3l 通过坐标面q+d1的通量是[42d4l 通过坐标面q2的通量是(-A2 h, dg, h,do2l 4+ 通过坐标面q2+d2的通量是[4 dqh, dq, I2a 通过坐标面q2的通量是[(-4)hdqh2dg2l a qa ds2动2aq 通过坐标面q3+dg的通量是[4ddql2 因此 VA=8.A+8 A2+aA= 鸟[27(4么 (4h)+。(Ah) (3)矢量A(q12q2q3)=Ae1+Ae2+Ae的旋度V×A是一个矢量,它在e1方向 的分量x定义为:以1记坐标面q上的面积元d1=h4d的边界线, 其走向是关于4成右手螺旋的,则(V×A)=∮d1A.因为, d=[4m+[4]+(一4邮工+[(-4)d (44)-(4h)14 所以,x=1「0 h,h, laq2 (41h2)-(412) x,(x)可以类似(指标轮换)地定义并推导出。最后有 6Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 6 （2）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q ) = Ae ˆ + A e ˆ + A e ˆ  的散度 A   是一个标量，定义为： 以 S 记体积元的边界面， S  d 表示大小为 dS ，方 向为面积元外法线方向的矢量，则   S A dS   是 A  通过边界面 S 的通量，而 1 2 3 a q q q ( , , ) 点的散度是 d / d S  =  A A S   . 通过坐标面 1 q 的通量是 ( )  1 1 2d 2 3d 3 q − A h q h q ， 通过坐标面 q1 + dq1 的通量是   1 d 1 1 2d 2 3d 3 q q A h q h q + ； 通过坐标面 2 q 的通量是 ( )  2 2 1d 1 3d 3 q − A h q h q ， 通过坐标面 q2 + dq2 的通量是   2 d 2 2 1d 1 3d 3 q q A h q h q + ； 通过坐标面 3 q 的通量是 ( )  3 3 1d 1 2d 2 q − A h q h q ， 通过坐标面 q3 + dq3 的通量是   3 d 3 3 1d 1 2d 2 q q A h q h q + . 因此， ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 . A A A A A h h A h h A h h q q q h h h q q q       =  +  +  = + +        （3）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q ) = Ae ˆ + A e ˆ + A e ˆ  的旋度 A   是一个矢量，它在 1 e ˆ 方向 的分量 ( ) A 1   定义为：以 l 记坐标面 1 q 上的面积元 dS1 = h2dq2h3dq3 的边界线， 其走向是关于 1 e ˆ 成右手螺旋的，则 ( ) 1 1 d / d . l  =  A A l S  因为，     ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 d d 3 3 2 2 2 3 2 3 d d d d d d d , ab bc cd da l q q q q q q A l A h q A h q A h q A h q A h A h q q q q + +  = + + − + −             = −        所以， ( ) ( ) ( )        −    = 2 2 3 3 3 2 3 2 1 1 A h q A h h h q A  . ( ) A 2   ，( ) A 3   可以类似（指标轮换）地定义并推导出。最后有