Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU a(x,y,=) 成的体积元为=qd43=山山k 因此,δ(x-x)6(y-y)6(z 6(q1-q)6(q2-q2)(q3-q3) h,h,h3 球坐标系中,h=1,b=r,b=rSn, (x-x)o(y-y)6(二-) d(r-r)6(0-67)o(q-q) 柱坐标系中,h=1,h=p,h=1, (x-x)o(y-y)6(二-2) -p1)(g-g)6(=-2 平面极坐标系中,h=1,h=P o(x-x)(y-y)=2(P-p)(g-q) 由体积元dr=hh2l2 dq, dq, dq3知道,球坐标系中体积元为r2 drain eded,权重 函数分别为(2,sine,1)柱坐标系中体积元为 pdpdpd,权重函数分别为(p,1,1) 3.场量的梯度( grade:Vu),散度( divergence:V·A),旋度( rotation:V×A)和 Laplace算符v2等在正交曲线坐标系中的表达式 (1)标量u(nq24q3)的梯度Vv是一个矢量,在直角坐标系中的表达式是 V ax ay a5 其中1,,k分别是3D实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中,V的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 ,如以(=12,3)分别表示点(qn,q2,q)沿三条坐标线的单位矢量,就有 (Note: ds,=hdq,) hMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 5 成的体积元为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) d d d d d d d . ( , , ) x y z q q q h h h q q q q q q   = =  因此， 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h q q q q q q x x y y z z −  −  −  −  −  −  =       . 球坐标系中， hr =1，h = r  ，h = rsin  ,            sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r r x x y y z z −  −  −  −  −  −  = . 柱坐标系中， h = 1，h =  ，hz =1,            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x x y y z z −  −  −  −  −  −  = . 平面极坐标系中， h = 1，h =  ,          ( ) ( ) ( ) ( ) −  −  x − x  y − y  = . 由体积元 1 2 3 1 2 3 d d d d  = h h h q q q 知道，球坐标系中体积元为 2 r rd sin d d ,  权重 函数分别为 2 ( ,sin ,1). r  柱坐标系中体积元为  d d d ,z 权重函数分别为 ( ,1,1).  3．场量的梯度(grade: u )，散度(divergence:  A )，旋度(rotation:  A )和 Laplace 算符 2  等在正交曲线坐标系中的表达式 （1）标量 ( ) 1 2 3 u q , q , q 的梯度 u 是一个矢量，在直角坐标系中的表达式是 k z u j y u i x u u ˆ ˆ ˆ   +   +    = ， 其中 i j k ˆ , ˆ , ˆ 分别是 3D 实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中， u 的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 i s u   ，如以 i e ˆ (i =1,2,3) 分别表示点 ( , , ) q1 q2 q3 沿三条坐标线的单位矢量，就有   = =   =    = 3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u . (Note: d d ) i i i s h q =