Methods of Mathematical Physics(2016. I1) 对于柱坐标系 (ds)2=(dx)2+(dy)2+(d) (cosodp-psin dp)+(sinop+pcos pdo)+(d= =(dp)+p2(d)+(d) →柱坐标系也是正交曲线坐标系,且 h h p,h2=√g3=1 2.δ函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中,δ(F-F)=6(x-x)6(y-y)06(z-) 设尸点对应于直角坐标系(x,y,)的新坐标为(G,2q),即 x=x(q1,9,q) y=y(4,g,q),并设f(xy)在点(xy,=)附近为连续的任意函数, z'=2(q1,q2,q3) 按δ函数的定义,有 盯(xy:)5(x-x)6(y-y)6(=-2)dd=f(x:y,=) 左边的积分可以作变量代换,而右边的函数作上述变量代换,有 [xq,49)y(g,939)2(9191,4)小(x-x)y-yb(=- a(x,y,=) 0(q1,q2,q2 dq,da,de4=/xq19,q)y(1929)21999 另一方面,由δ函数的定义,又有 xq4,434)y(q,42,4)2,4295)2(9-901-9)(91-4) xdq, dq2da,=f[x(gi, q2, 9'), y(q1, 92, 93),(qi,2, 93)] 比较上面两式,由于∫是任意函数,得到 (x-x)6(y-y1)6(z-) a(x,y,二) =o(q1-41)6(q2-q2)6(q3-q3 a(q1,q2,q3 即在一般正交曲线坐标系中,δ函数的表达式为 0(x-x)(y-y1(2-2)=2(9-q)b(-9)(q3-g) a(x,y, =) (q1,42g3) 在正交曲线坐标系中,由六个面q12q1+dqn1q2q2+dq2,q3,q3+dq3所构Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 4 对于柱坐标系， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d cos d sin d sin d cos d d d d d . s x y z z z              = + + = − + + + = + +  柱坐标系也是正交曲线坐标系，且 h = g11 = 1， 22 h g  = = ，hz = g33 = 1. 2． 函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中，  (r − r ) =  (x − x ) ( y − y ) (z − z )   . 设 r   点对应于直角坐标系 (x  , y  ,z ) 的新坐标为 ( ) 1 2 3 q  , q  , q  ，即       =     =     =    ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 z z q q q y y q q q x x q q q ，并设 f (x, y,z) 在点 (x  , y  ,z ) 附近为连续的任意函数， 按  函数的定义，有 f x y z x x y y z z x y z f x y z ( , , ) ( ) ( ) ( )d d d ( , , ).    − − − =        左边的积分可以作变量代换，而右边的函数作上述变量代换，有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . ( , , ) f x q q q y q q q z q q q x x y y z z x y z q q q f x q q q y q q q z q q q q q q    − − −      =            另一方面，由  函数的定义，又有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . f x q q q y q q q z q q q q q q q q q q q q f x q q q y q q q z q q q    − − −     =           比较上面两式，由于 f 是任意函数，得到 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( , , ) x y z x x y y z z q q q q q q q q q        − − − = − − −        即在一般正交曲线坐标系中，  函数的表达式为 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ) ( , , ) q q q q q q x x y y z z x y z q q q       − − −    − − − =      在正交曲线坐标系中，由六个面 1 1 1 2 2 2 3 3 d 3 q , q + dq , q , q + dq , q , q + q 所构