线性变换练习题 填空题(每空3分,共36分) 1.设1,B2是线性空间V的一组基,V的一个线性变换在这组基下的矩 阵是A=(an),a=x1+x22+x:∈V,则σ在基3a,61下的矩阵B a3a2a1,而可逆矩阵T=1满足B=T4T,m在基a,4,下的坐标 为 A(x1,x23x3) 2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵,定义n维列向量空间P的线性变换 :∞=4,5∈P",则σ(0)=(4=0.∈門),dm(0)=n, dim(o(P"))=I 3.复矩阵A=(an)m的全体特征值的和等于an+a2+…+an,而全体特征值的 积等于A 4.设σ是n维线性空间V的线性变换,且o在任一基下的矩阵都相同,则 0为数乘变换 5数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V为n2维 线性空间,它与Pm同构 6.设n阶矩阵A的全体特征值为λ,气2,…,,∫(x)为任一多项式,则f(4)的 全体特征值为f(41),f(2)…,f(x1) 二、判断题(每小题2分,共10分) 1.设是线性空间V的一个线性变换,a1ax2…a,∈V线性无关,则向量组 o(a1,r(a2)…,o(a)也线性无关 (×) 2.设为n维线性空间的一个线性变换,由a的秩+o的零度=n,线性变换练习题 一、填空题(每空 3 分, 共 36 分) 1．设 1 2 3    , , 是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩 阵 是 3 3 1 1 2 2 3 3 ( ) , , A a x x x V ij     = = + +   则σ在基 3 2 1  , , 下 的 矩 阵 B ＝ 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a           ，而可逆矩阵 T＝ 1 1 1           满足 1 B T AT, − =  在基 1 2 3    , , 下的坐标 为 1 2 3 ( , , )T A x x x . 2．设 A 为数域 P 上秩为 r 的 n 阶矩阵，定义 n 维列向量空间 P n的线性变换 σ： ( ) , n     =  A P ,则 1  (0) − ＝ { }n    | = 0, A P  ， ( ) 1 dim (0)  − ＝ n−r ， dim ( ) ( ) n  P ＝ r . 3．复矩阵 ( ) A a = ij n n 的全体特征值的和等于 11 22 nn a a a + + + ，而全体特征值的 积等于 A . 4．设σ是 n 维线性空间 V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则 σ为 数乘 变换. 5．数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换所成的线性空间 L(V)为 n 2 维 线性空间，它与 n n P  同构. 6．设 n 阶矩阵 A 的全体特征值为 1 2 , , ,    n，f x( ) 为任一多项式，则 f A( ) 的 全体特征值为 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f f f    . 二、判断题(每小题 2 分,共 10 分) 1．设σ是线性空间 V 的一个线性变换， 1 2 , , ,   s V 线性无关，则向量组 1 2 ( ), ( ), , ( )      s 也线性无关. （ × ） 2．设σ为 n 维线性空间 V 的一个线性变换，由 σ的秩＋σ的零度＝n