a21a2a23‖010|=a21+ 31a2a3八k01 n(n 4设A=0k1,求A,A3并证明A"=0k λ10)λ10 解:A2=021‖01=0x22元 004八(00x A3323元) A=A2.A=033元 00A 和k(k-1)2k-2 2 假设n=k时,4=0x4kx+1(k≥2)成立 则当n=k+1时: ak k2k-1 k( Ck A(k+1)2h!(k+1)k A+=A·A=02 0 (k+1)1 00λ 2k+1 -1n(n 1) n-2 由数学归纳法原理知:A=0x 00 5设A、B为n阶方阵,且A为对称矩阵,证明BAB也是对称矩阵 证明:因为A=A,所以(BAB)=BA(B)=B1AB 6设A、B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA 证明:因为A1=A,B=B㾷˖ 11 12 13 11 13 12 13 21 22 23 21 23 22 23 31 32 33 31 33 32 33 100 010 0 1 a a a a ka a a a a a a ka a a a a a k a ka a a æ öæ ö æ ö + ç ÷ç ÷ ç ÷ = + è øè ø è ø + 4.䆒 1 0 0 1 0 0 k k k æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A ˈ∖ 2 3 A A, .ᑊ䆕ᯢ 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 nn n n nn n n n k nk k k nk k - - - æ ö - ç ÷ = è ø A 㾷˖ 2 2 2 2 10 10 2 1 0 10 1 0 2 00 00 0 0 l l l l l l ll l l l æ ö æ öæ ö ç ÷ = = ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø ǹ 3 2 32 3 2 3 3 3 0 3 0 0 ll l l l l æ ö ç ÷ = ×= ç ÷ è ø A AA ؛䆒 n k = ᯊˈ 1 2 1 ( 1) 2 0 ( 2) 0 0 kk k k kk k k k k k k ll l l l l - - - æ ö - ç ÷ = ³ è ø A ៤ゟDŽ ߭ᔧ n k = +1ᯊ˖ 1 2 11 1 1 1 11 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 1 0 0 0 1 0 ( 1) 00 0 0 0 0 kk k k k k kk k k k k k k kk k k k k A AA k k ll l l l l l ll l l l l l l - - +- - + - +- + æ öæ ö - + + ç ÷ç ÷ æ ö = ×= = + ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø ⬅᭄ᄺᔦ㒇⊩ॳ⧚ⶹ: 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 nn n n nn n n n n A n ll l l l l - - - æ ö - ç ÷ = è ø 5.䆒 AǃB Ў n 䰊ᮍ䰉ˈϨ A Ўᇍ⿄ⶽ䰉ˈ䆕ᯢ T B AB гᰃᇍ⿄ⶽ䰉. 䆕ᯢ˖಴Ў T A A = ˈ᠔ҹ T T T T TT T ( ) () B AB B A B B AB = = 6.䆒 AǃB 䛑ᰃ n 䰊ᇍ⿄ⶽ䰉ˈ䆕ᯢ AB ᰃᇍ⿄ⶽ䰉ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ AB BA = . 䆕ᯢ˖಴Ў T T A AB B = =