充分性:AB=BA→AB=BA=(AB) 即AB是对称矩阵 必要性:(AB)=AB→AB=(AB)=BA=BA 7设A是n阶对称矩阵,且A=O,证明A=O 解:设A=(an)mn,由于A=A且A2=O,所以 42=AA 0→∑q2=01=12,,m) ∑ →an=0(,j=1,2,…,n)→A=O 8求下列矩阵的逆矩阵 1000 2130 00 5-4 解 (1)A= A1=5,A21=2×(-1),A12=2×(-1),A2=1 A Au Ai 5 A A12A2 (2)A=012,|A|=1 001 A1=1A2=0A3=0A2 A23=0A41=7 2A3ߚܙᗻ˖ TT T AB BA AB B A AB =Þ = = ( ) े AB ᰃᇍ⿄ⶽ䰉. ᖙ㽕ᗻ˖ T T TT () () AB AB AB AB B A BA =Þ= = = . 7.䆒 A ᰃ n 䰊ᇍ⿄ⶽ䰉ˈϨ 2 A O= ˈ䆕ᯢ A O= 㾷˖䆒 ( )ij n n a A = ´ ˈ⬅Ѣ T A A = Ϩ 2 A O= ˈ᠔ҹ 2 1 1 2 2 1 2T 2 2 1 1 2 1 0( 1,2,..., ) n j j n j n j ij n j ij j n nj j a a ai n a a = = = = = æ ö ç ÷ = = =Þ = = è ø å å å å å A AA O 0 ( , 1,2,..., ) ij Þ = = Þ= a ij n A O 8.∖ϟ߫ⶽ䰉ⱘ䗚ⶽ䰉 1) 1 2 2 5 æ ö ç ÷ è ø 2) 12 3 01 2 00 1 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 3) 12 1 34 2 5 41 æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø - 4) 1000 1200 2130 1214 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 㾷 (1) 1 2 2 5 æ ö = ç ÷ è ø A A =1 11 21 12 22 AA A A = = ´- = ´- = 5, 2 ( 1), 2 ( 1), 1 11 21 12 22 5 2 2 1 * æ ö æ ö - = = ç ÷ ç ÷ è ø è ø - A A A A A ᬙ˖ 1 1 5 2 2 1 - * æ ö - = = ç ÷ è ø - A A A (2) 12 3 0 1 2 | | =1 00 1 æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A A ˈ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 AA A A AA A A A = = = =- = = = =- = 1 0 0 2 1 0 7 2 1