记住的事情 经常有人问:难道这些要求就没有例外吗?对这个问题的回答是:也有例外,然而那是有条件的, 不可泛泛而谈 具体地说,对这些条件可以做如下的说明。 (1)关于波函数的单值性。坐(F,1)中的F是粒子的动力学变量,但是粒子的波函数还可能依赖于 某些外部参数(比如外磁场强度)。我们所说的波函数是处处单值的,指的是波函数对于动力学变量的 变化是单值的,也就是说,当动力学变量走完一条封闭的路线回到出发点的时候,波函数也必须回到原 来的值。这一点是没有例外的。但是它对于外部参数的变化却可以不是单值的,比如所谓的 Berry相就 是这样的例子。但是在目前这门“初等”的量子力学课中,我们将不涉及Bery相这一类问题 (2)关于波函数的有限性。根据波函数的几率解释,只要v(7)2的积分在任何有限的体积中是 有限的,就可以接受,所以在3维空间中,波函数在某些孤立点处允许有y1/r3(s<3/2)的发散 但是问题是:在什么情形下这样的发散会实际发生?并不是任何波函数都有物理意义。我们感兴趣的只 是那些满足一定的 Schrodinger方程的波函数。|u1/r3的发散表明:在r=0处存在着非常强的吸引 势场计算给出:只有在02-2m h21 (0<s<1)的时候,才会出现v~l/r3(0<s<1)的 波函数奇异性。我们通常不考虑这种势能。 (3)关于波函数的连续性。在一般情形下,波函数的连续性意味着波函数本身和它的一阶导数是 处处连续的。例外情形发生在势能有无限大跃变的地方。在这样的地方,波函数本身还必须是连续的 然而波函数的一阶导数允许有跃变。应该说,势能在某些点处发生无限大的跃变还是我们今后经常遇到 的情形,所以这种“例外”是有实际意义的,应该记住 作业:习题1.65 记住的事情。 经常有人问：难道这些要求就没有例外吗？对这个问题的回答是：也有例外，然而那是有条件的， 不可泛泛而谈。 具体地说，对这些条件可以做如下的说明。 （1）关于波函数的单值性。 ( , ) r t 中的 r 是粒子的动力学变量，但是粒子的波函数还可能依赖于 某些外部参数（比如外磁场强度）。我们所说的波函数是处处单值的，指的是波函数对于动力学变量的 变化是单值的，也就是说，当动力学变量走完一条封闭的路线回到出发点的时候，波函数也必须回到原 来的值。这一点是没有例外的。但是它对于外部参数的变化却可以不是单值的，比如所谓的 Berry 相就 是这样的例子。但是在目前这门“初等”的量子力学课中，我们将不涉及 Berry 相这一类问题。 （2）关于波函数的有限性。根据波函数的几率解释，只要 2 | ( ) |  r 的积分在任何有限的体积中是 有限的，就可以接受，所以在 3 维空间中，波函数在某些孤立点处允许有 | | 1/ ( 3/ 2) s  r s  的发散。 但是问题是：在什么情形下这样的发散会实际发生？并不是任何波函数都有物理意义。我们感兴趣的只 是那些满足一定的 Schrödinger 方程的波函数。 | | 1/ s  r 的发散表明：在 r = 0 处存在着非常强的吸引 势场。计算给出：只有在 2 0 2 (1 ) 1 ( ) (0 1) 2 r s s V r s m r → −  −   的时候，才会出现 1/ (0 1) s  r s   的 波函数奇异性。我们通常不考虑这种势能。 （3）关于波函数的连续性。在一般情形下，波函数的连续性意味着波函数本身和它的一阶导数是 处处连续的。例外情形发生在势能有无限大跃变的地方。在这样的地方，波函数本身还必须是连续的， 然而波函数的一阶导数允许有跃变。应该说，势能在某些点处发生无限大的跃变还是我们今后经常遇到 的情形，所以这种“例外”是有实际意义的，应该记住。 作业：习题 1.6