ly(ldr 同理,坐标的任何函数例如势能V(F)的平均值是(除非特别声明,我们总考虑归一化的波函数) P=「()(F)d 至于动量(以及动量的函数)的平均值,就要从动量的分布几率来计算: =∫P)Ppd3 如果我们想也用波函数v(F)来计算p,那应该怎么做呢?注意到 (p)=|v(F) 1-ip-FInd'r, (2zh)3 所以 =∫“(p)叭p)pdp )/7 V(2 rh)3e'p-rIh d2|p(p)d万 y(P)(ihv) 叭(p)dpdF (rAiny(r)d 我们发现,这里出现了算符一ih,借助于它,我们可以直接用坐标波函数计算动量的平均值。令 P=-ihv 那么上式就可以写为 p=Ly()pw()d'r 所以p称为动量算符。 在经典力学中,动能T是动量的如下函数: T 2m 所以量子力学的动能算符是 n 类似地,在经典力学中粒子的角动量定义为 L=F×p 也就是 Lx=yp:-=py, Ly==pa L=xpy-ypr 所以量子力学的角动量算符定义为 L=F×p=-ih×V 也就是 =i1(02-20,),,=-i1(cax-x,2L2=-ib(x,-ya,) 上面给出的求平均值的公式适用于任何物理量,即一般地说 F=y()Fw( 8.波函数应满足的要求 在一般情况下,坐标空间的波函数屮(F,D)应该满足处处单值、有限、连续的要求。这是应该首先4 2 3 2 3 | ( ) | . | ( ) | r r d r r r d r     =   同理，坐标的任何函数例如势能 V r( ) 的平均值是（除非特别声明，我们总考虑归一化的波函数） 2 3 V r V r d r | ( ) | ( ) .   =  至于动量（以及动量的函数）的平均值，就要从动量的分布几率来计算： 2 3 p p p d p | ( ) | .   =  如果我们想也用波函数  ( )r 来计算 p ，那应该怎么做呢？注意到 i / 3 3 1 ( ) ( ) e , (2 ) p r   p r d r  −   =  所以 3 i / 3 3 3 i / 3 3 3 3 ( ) ( ) 1 ( ) e ( ) (2 ) 1 ( )( i ) e ( ) (2 ) ( )( i ) ( ) . p r p r p p p p d p r d r p p d p r p d p d r r r d r                       =   =       = −      = −        我们发现，这里出现了算符 −  i ，借助于它，我们可以直接用坐标波函数计算动量的平均值。令 ˆ p = −  i , 那么上式就可以写为 ˆ 3 p r p r d r   ( ) ( ) .   =  所以 ˆ p 称为动量算符。 在经典力学中，动能 T 是动量的如下函数： 2 , 2 p T m = 所以量子力学的动能算符是 2 2 2 ˆ ˆ . 2 2 p T m m = = −  类似地，在经典力学中粒子的角动量定义为 L r p =  , 也就是 , , , L y p z p L z p x p L x p y p x z y y x z z y x = − = − = − 所以量子力学的角动量算符定义为 ˆ ˆ ˆ L r p r =  = −   i , 也就是 ˆ ˆ ˆ i ( ), i ( ), i ( ). , L y z L z x L x y x z y y x z z y x x x    = −  −  = −  −  = −  −         上面给出的求平均值的公式适用于任何物理量，即一般地说 3 ˆ F r F r d r   ( ) ( ) .   =  8. 波函数应满足的要求 在一般情况下，坐标空间的波函数 ( , ) r t 应该满足处处单值、有限、连续的要求。这是应该首先