d(P)=平(x, 注意, Fourier变换的性质保证了粒子在动量空间中的总几率和在坐标空间中的总几率是相同的: j(p)vpdp=』(p)H() 1m少P1bdd=中()(dF 这里想强调一点:当我们谈到波函数的统计解释的时候,只说“代表粒子的空间几率密度”是 不够全面的,因为这会给人一个误解,似乎平的位相(相角)与波函数所代表的意义无关,这显然是 错误的。以平面波为例,它的根本就是常数,但是我们能够说这时粒子没有运动吗?这时粒子的运 动特性恰恰反映在它的位相上。从上面所介绍的粒子动量几率密度的确定也可以发现,这时起主要作用 的正是波函数的位相所以波函数的统计解释不但包括“N代表粒子的空间几率密度”,也包括p2 代表粒子的动量几率密度”,甚至还应该包括我们以后会讲到的用平表达任何力学量的测量几率的原理 和方法,这才是波函数的统计解释的完整含义 6.不确定关系( uncertainty relation) 由于微观粒子具有波粒二象性,我们不可能像在经典力学中那样同时确定粒子的坐标和动量 例如考虑粒子的单缝衍射实验。可以认为狭缝的宽度Δx确定了粒子坐标(x)的变动范围,而观 察屏上衍射条纹的宽度给出了粒子动量(Px)的变动范围№x。实验告诉我们:狭缝越窄(Δx越小), 衍射条纹就越宽(4p3越大)。二者关系的定性分析如下 般波的单缝衍射都有 其中a是衍射张角,Δx是狭缝的宽度,是“圆”波长(X=4/2x)。另一方面,在衍射角不太大时 可以认为 其中p是粒子的动量大小。对于微观粒子的波动,我们有 de broglie关系 代入上式中就有 42≈h 这个关系就称为不确定关系。它告诉我们:粒子的坐标和动量这二者不能同时有确定值,也就是说, 个越确定〔变动范围越小),另一个就越不确定(变动范围越大)。所以,运动轨道的概念对于微观粒子 是不适用的。 不确定关系是量子力学中的重要关系,我们以后还会介绍它的更准确的定量形式。 不确定关系是由 Heisenberg最先提出来的,所以有时又称它为 Heisenberg不确定关系。事实上, Heisenberg的“矩阵力学”的思想和它有密切的联系。 确定关系以前也曾被译为“测不准关系”,但是这样翻译是不确切的,因为这个关系是微观粒子 的本性的反映,与“测量”的准确与否无关。 7.力学量的平均值和用算符代表力学量 定义了一个力学量的分布几率以后,我们就可以求出它的平均值。例如对于归一化的波函数v(F) (我们用小写的希腊字母表示与时间无关的波函数),坐标x的平均值是 Llw()P xd'r 对于坐标y和二也类似,它们可以合在一起写成 F=「W(PFd 如果v(F)没有归一,那么求平均值的公式应该修改为3 1 i / ( , ) ( , ) e . 2 px p t x t dx  −   =  注意，Fourier 变换的性质保证了粒子在动量空间中的总几率和在坐标空间中的总几率是相同的： 3 i / 3 3 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) . (2 ) p r p p d p p r d r d p r r d r    −        =   =   这里想强调一点：当我们谈到波函数的统计解释的时候，只说“ 2  代表粒子的空间几率密度”是 不够全面的，因为这会给人一个误解，似乎  的位相（相角）与波函数所代表的意义无关，这显然是 错误的。以平面波为例，它的 2  根本就是常数，但是我们能够说这时粒子没有运动吗？这时粒子的运 动特性恰恰反映在它的位相上。从上面所介绍的粒子动量几率密度的确定也可以发现，这时起主要作用 的正是波函数的位相。所以，波函数的统计解释不但包括“ 2  代表粒子的空间几率密度”，也包括“ 2  代表粒子的动量几率密度”，甚至还应该包括我们以后会讲到的用  表达任何力学量的测量几率的原理 和方法，这才是波函数的统计解释的完整含义。 6. 不确定关系（uncertainty relation） 由于微观粒子具有波粒二象性，我们不可能像在经典力学中那样同时确定粒子的坐标和动量。 例如考虑粒子的单缝衍射实验。可以认为狭缝的宽度 x 确定了粒子坐标（ x ）的变动范围，而观 察屏上衍射条纹的宽度给出了粒子动量（ x p ）的变动范围 px 。实验告诉我们：狭缝越窄（ x 越小）， 衍射条纹就越宽（ px 越大）。二者关系的定性分析如下。 一般波的单缝衍射都有 , x    其中  是衍射张角， x 是狭缝的宽度， 是“圆”波长（ =   /2 ）。另一方面，在衍射角不太大时 可以认为 , x p p    其中 p 是粒子的动量大小。对于微观粒子的波动，我们有 de Broglie 关系 , p = 代入上式中就有 . x     x p 这个关系就称为不确定关系。它告诉我们：粒子的坐标和动量这二者不能同时有确定值，也就是说，一 个越确定（变动范围越小），另一个就越不确定（变动范围越大）。所以，运动轨道的概念对于微观粒子 是不适用的。 不确定关系是量子力学中的重要关系，我们以后还会介绍它的更准确的定量形式。 不确定关系是由 Heisenberg 最先提出来的，所以有时又称它为 Heisenberg 不确定关系。事实上， Heisenberg 的“矩阵力学”的思想和它有密切的联系。 不确定关系以前也曾被译为“测不准关系”，但是这样翻译是不确切的，因为这个关系是微观粒子 的本性的反映，与“测量”的准确与否无关。 7. 力学量的平均值和用算符代表力学量 定义了一个力学量的分布几率以后，我们就可以求出它的平均值。例如对于归一化的波函数  ( )r （我们用小写的希腊字母表示与时间无关的波函数），坐标 x 的平均值是 2 3 x r x d r | ( ) | .   =  对于坐标 y 和 z 也类似，它们可以合在一起写成 2 3 r r r d r | ( ) | .   =  如果  ( )r 没有归一，那么求平均值的公式应该修改为