G…;0 dh…d 表示粒子1出现在附近的体积元dF,同时粒子2出现在附近的体积元dF,等等,的几率。波函 数的归一化则是 平(…;)dd=1 以后有时用dr表示一般系统的空间体积元,所以对于一维粒子dr=dx,对于三维粒子dr= dx dydz 对于N个三维粒子dz=dhd1…ddN,等等 关于时间t在这里的作用,我们以后再分析 4.态的叠加原理 波的干涉、衍射现象的本质原因是它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性提示我们:波函数也 应该满足叠加原理,即: 如果里1和2是体系的可能状态,那么里=c出+c22(c1,C2是复常数)也是体系的可能状态。 对于合成的状态 平=|cHP+|22|2+c2旷H+c2平田 其中cc平2+c1c平就是干涉项,它正是波的干涉现象的起因 般地说,叠加原理可以写成 乎 这导致了量子力学中的一个重要概念:对于一个指定的量子体系,如果我们找到了它的“完备的基本状 态”例如{n(n=12…)},那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。这也是一个和经典物 理完全不同的概念。一个经典粒子在一维空间中运动时,它的自由度数就是1(比如取动力学变量为 x=x(t)),然而它的量子力学的“自由度数”却是无穷大(比如取Cn=Cn(1)(n=1,2…)。 由于量子态满足叠加原理,一个量子系统的全部可能的状态构成了一个数学上的线性空间(又称矢 量空间),这个空间称为该量子系统的 Hilbert空间 5.动量分布几率 我们已经知道:一个自由粒子以动量p和能量E(=p2/2m)运动的状态用平面波 5(F,1)=e(EF 来描写。先不考虑时间变量,记 那么根据叠加原理,任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成 V(,D)=c(b.n/1 epf"dp,(d=中中) 也就是各种不同动量的平面波的叠加。从屮(F)变为Φ(p)在数学上称为函数的 Fourier(傅立叶)变换, 这个变换(也就是上面的变换的反变换)是 Φ(p,1)的物理意义是动量几率振幅,也就是说(p,)代表动量几率密度,即 Φ(p,1)2d=在动量空间中的点p附近的体积元d3p中发现粒子的几率 对于一维情形,上面的公式分别成为 H(x,1)=P2 2 3 3 1 1 ( , , ; ) N N  r r t d r d r 表示粒子 1 出现在 1 r 附近的体积元 3 1 d r ，同时粒子 2 出现在 2 r 附近的体积元 3 2 d r ，等等，的几率。波函 数的归一化则是 2 3 3 1 1 ( , , ; ) 1. N N r r t d r d r   =  以后有时用 d 表示一般系统的空间体积元，所以对于一维粒子 d dx  = ，对于三维粒子 d dx dy dz  = ， 对于 N 个三维粒子 1 1 1 N N N d dx dy dz dx dy dz  = ，等等。 关于时间 t 在这里的作用，我们以后再分析。 4. 态的叠加原理 波的干涉、衍射现象的本质原因是它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性提示我们：波函数也 应该满足叠加原理，即： 如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么  = c11 + c22 （ c c 1 2 , 是复常数）也是体系的可能状态。 对于合成的状态， , 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2      = c  + c  + c c   + c c   其中 c c c c 1 2 1 2 1 2 1 2       +   就是干涉项，它正是波的干涉现象的起因。 一般地说，叠加原理可以写成 . n n n  =  c 这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状 态”，例如  = n ( 1,2, ) n  ，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。这也是一个和经典物 理完全不同的概念。一个经典粒子在一维空间中运动时，它的自由度数就是 1（比如取动力学变量为 x x t = ( ) ），然而它的量子力学的“自由度数”却是无穷大（比如取 ( ) ( 1,2, ) n n c c t n = = ）。 由于量子态满足叠加原理，一个量子系统的全部可能的状态构成了一个数学上的线性空间（又称矢 量空间），这个空间称为该量子系统的 Hilbert 空间。 5. 动量分布几率 我们已经知道：一个自由粒子以动量  p 和能量 2 E p m ( / 2 ) = 运动的状态用平面波 ( , ) e , i( )/     Et p r p r t − −   = 来描写。先不考虑时间变量，记 i / 3 1 ( ) e , (2 ) p r p u r   = 那么根据叠加原理，任何波函数（不一定是自由粒子的）都可以写成 i / 3 3 3 1 ( , ) ( , ) e , ( ) (2 ) p r x y z r t p t d p d p dp dp dp     =  =  也就是各种不同动量的平面波的叠加。从 ( ) r 变为 ( ) p 在数学上称为函数的 Fourier（傅立叶）变换， 这个变换（也就是上面的变换的反变换）是 i / 3 3 3 1 ( , ) ( , ) e . ( ) (2 ) p r p t r t d r d r dxdydz  −    =  =  ( , ) p t 的物理意义是动量几率振幅，也就是说 2 | ( , ) |  p t 代表动量几率密度，即 2 3 | ( , ) |  = p t d p 在动量空间中的点 p 附近的体积元 3 d p 中发现粒子的几率. 对于一维情形，上面的公式分别成为 1 i / ( , ) ( , ) e , 2 px x t p t dp    =  