第一章波函数与 Schrodinger方程 §1.1波函数 1.微观粒子的波粒二象性 对于一般状态下的微观粒子,应该用一般的时间和空间的复函数来描写:坐=H(,1),它称为波 对波函数的意义的理解是量子力学中的重要问题。由于波函数是微观粒子的“波粒二象性”的表现 所以这里的关键是如何理解波粒二象性。 对波粒二象性的某些理解是错误的,比如:波函数代表粒子的结构:或者,波函数代表大量粒子的 运动。 对波粒二象性的正确理解如下。 保留经典概念的哪些特征 不具有经典概念的哪些特征 粒子性|有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道 波动性有干涉、衍射等现象 振幅没有绝对的意义 粒子的双缝干涉实验的分析。关键在于:两个缝同时打开时观察到的波的强度不等于分别打开一个 缝时波的强度的和,也就是 12≠l1+12 粒子的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果,或一个粒子在多次相同实验中的统计结 所以,单个粒子就具有波动性,或者说,在双缝干涉实验中,粒子是自己和自己发生干涉 2.波函数的统计解释(Bon,1926 波函数在某点的强度(绝对值的平方)与在该点找到粒子的几率密度成正比。波函数本身称为几率 振幅 设屮(G,1)(F=(x,y,=)是某个波函数,按照几率解释,在点附近的体积元dF=dd中在 时刻t发现粒子的几率是 dw(r, t =y(, i dr, 或者说,粒子的空间几率密度是 p(F:)=NG,)2 以后我们还会看到:由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量。所以波函数完全描写了微 观粒子(或一般地说,量子体系)的状态,并且这种描写在本质上具有统计的特征。 3.波函数的归一 几率是相对量,所以将波函数乘以一个常数,它仍然描写量子体系的同一个状态。这个特征表明量 子的波动和经典的波动完全不同。 根据前述,在全空间发现粒子的几率是 W=[m(d=[N(,)d 种方便的选择是让 W=1 这样的H(F,1)称为归-化的波函数。波函数的归一化条件有一个直观的理解:只要粒子没有“消失”, 在全空间中发现粒子就是一个“必然事件”,而在概率论中必然事件的几率可以“归一化”为1。 说明:(1)即使要求波函数是归一的,它仍然有一个整体的(常数的)位相因子e不能确定。(2) 如果积分∫G,dF是无穷大,这样的波函数就是不能(有限地)归一的,例如平面波( de broglie 波)。此时|(元,)代表“相对几率密度 推广:由N个粒子组成的系统的波函数是全体N个粒子的坐标以及时间的复函数(不1…:D 这时1 第一章 波函数与 Schrödinger 方程 §1.1 波函数 1. 微观粒子的波粒二象性 对于一般状态下的微观粒子，应该用一般的时间和空间的复函数来描写：  = ( , )  r t ，它称为波 函数。 对波函数的意义的理解是量子力学中的重要问题。由于波函数是微观粒子的“波粒二象性”的表现， 所以这里的关键是如何理解波粒二象性。 对波粒二象性的某些理解是错误的，比如：波函数代表粒子的结构；或者，波函数代表大量粒子的 运动。 对波粒二象性的正确理解如下。 保留经典概念的哪些特征 不具有经典概念的哪些特征 粒子性 有确定的质量、电荷、自旋等 没有确定的轨道 波动性 有干涉、衍射等现象 振幅没有绝对的意义 粒子的双缝干涉实验的分析。关键在于：两个缝同时打开时观察到的波的强度不等于分别打开一个 缝时波的强度的和，也就是 12 1 2 I I I  + . 粒子的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果，或一个粒子在多次相同实验中的统计结 果。所以，单个粒子就具有波动性，或者说，在双缝干涉实验中，粒子是自己和自己发生干涉。 2. 波函数的统计解释 (Born, 1926) 波函数在某点的强度（绝对值的平方）与在该点找到粒子的几率密度成正比。波函数本身称为几率 振幅。 设  = ( , ) ( , , ) r t r x y z ( ) 是某个波函数，按照几率解释，在点 r 附近的体积元 3 d r dx dy dz = 中在 时刻 t 发现粒子的几率是 2 3 dW r t r t d r ( , ) ( , ) , =  或者说，粒子的空间几率密度是 2 ( , ) ( , ) . r t r t =  以后我们还会看到：由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量。所以波函数完全描写了微 观粒子（或一般地说，量子体系）的状态，并且这种描写在本质上具有统计的特征。 3. 波函数的归一 几率是相对量，所以将波函数乘以一个常数，它仍然描写量子体系的同一个状态。这个特征表明量 子的波动和经典的波动完全不同。 根据前述，在全空间发现粒子的几率是 3 3 2 W r t d r r t d r ( , ) ( , ) .   = =    一种方便的选择是让 W =1, 这样的 ( , )  r t 称为归一化的波函数。波函数的归一化条件有一个直观的理解：只要粒子没有“消失”， 在全空间中发现粒子就是一个“必然事件”，而在概率论中必然事件的几率可以“归一化”为 1。 说明：（1）即使要求波函数是归一的，它仍然有一个整体的（常数的）位相因子 i e 不能确定。（2） 如果积分 2 3 ( , ) r t d r   是无穷大，这样的波函数就是不能（有限地）归一的，例如平面波（de Broglie 波）。此时 2 (r,t)   代表“相对几率密度”。 推广：由 N 个粒子组成的系统的波函数是全体 N 个粒子的坐标以及时间的复函数 1 ( , , ; ) N  r r t ， 这时