《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 习题课 一、积分不等式： 1.利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1、 neZ' 正：注意在区间[0,1]止有子≤x-x+1≤1，一. 例2、证明不等式n+1+分+女1+hm 1 正：考痣函数-n≤<m+1n=1,2,g)-=xe,+o)。 易见对任何n,在区间[1，n+1)上g(x)和fx)均单调，因此可积，且有 8)sf),注意到g)f),就有了g达<j/wh.而 恤空j达-2j- 因此有以a+<空=1+分+号 nn≤<n+1n=l,2.,g闭-xe,+o) 取f)= 在区间L,n+1】仿以上讨论，有jgx)>了fx达.而 [g(x)dx=In n. 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 习题课 一、 积分不等式： 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例 1、 证明不等式  + −   − +  1 0 2 1 , 3 4 1 1 n Z n dx x x x n n . 证： 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 1 1 4 3 2  x − x +  ,  . 例 2、 证明不等式 n n n 1 ln 1 2 1 ln( +1) 1+ ++  + . 证：考虑函数 , 1, 1, 2 , 1 ( ) = n  x  n + n = n f x , , [1, ) 1 ( ) = x  +  x g x . 易见对任何 n , 在区间 [1, n +1] 上 g(x) 和 f (x) 均单调, 因此可积,且有 g(x)  f (x) , 注意到 g(x)  f (x) , 就有   + +  1 1 1 1 ( ) ( ) n n g x dx f x dx . 而       = + = + = + = = = n i i i n i i i n i n i dx i f x dx f x dx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ,  + = 1 1 ( ) n g x dx  + + = = + 1 1 1 1 ln | ln( 1) n n x n x dx . 因此有 1 2 1 1 1 ln( 1) 1 i n n n i +   = + + + =  . 取 , 1, 1, 2 , 1 1 ( )   + = + = n x n n n f x , , [1, ) 1 ( ) = x  +  x g x . 在区间 [1, n +1] 仿以上讨论, 有    n n g x dx f x dx 1 1 ( ) ( ) . 而  = n g x dx n 1 ( ) ln , i i n f x dx n n i n i i i 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 = + + + + = + =     − = − = + 