《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 n 综上。有不等式a+01+宁1+hn n 2、某些不等式的积分推广： 原理：设函数f(x)和g(x)在区间【a,b]上可积.T为区间【a,b]的n 等分分 法，5∈xx】.若对任何n和1≤i≤n,均有 立代传)片≤立6)片即得它飞)2≤立)2. 令n→o,注意到函数f(x)和g(x)在区间【a,b]上可积，即得积分不等式 (dsg(ds 精若通数心和Ψ法续，还可由©25片月Ψ它6月一 Gfs4C8 例3、证明Schwarz不等式 (亦称为Cauchy-Ey H R K O B C K H庄不等式)： 设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续（其实只要可积就可).则有不 等式 [ngcdssod. 证法一：（由Cauchy不等式→Schwarz不等式.Cauchy不等式 参阅 []上册P4Bx第10题：设{a,a,a,}和{6，b,bn}为两组实数，则 2《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2  n n 1 ln 1 2 1 1+ ++  + . 综上 , 有不等式 n n n 1 ln 1 2 1 ln( +1) 1+ ++  + . 2、某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上可积. T 为区间 [ a , b ] 的 n 等分分 法, [ , ] i i 1 i x x   − . 若对任何 n 和 1 i  n, 均有  ( )  ( ) = =  n i n i i i n g n f 1 1 1 1   , 即得  ( )  ( ) = = −  − n i n i i i n b a g n b a f 1 1   . 令 n →, 注意到函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上可积, 即得积分不等式  b a f (x)dx   b a g(x)dx . 倘若函数  和  连续 , 还可由 ( ) ( )                  = = n i i n i i n g n f 1 1 1 1                   1 0 1 0 f g . 例 3、 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский 不等式 ): 设函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不 等式          b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 证法一： ( 由 Cauchy 不等式  Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式 参阅 [1] 上册 P4 Ex 第 10 题 : 设 { , , , } a1 a2  an 和 { , , , } b1 b2  bn 为两组实数, 则