《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 有 位Aj八立.) 设T为区间【a,b]的n等分分法.由Cauchy不等式，有 25)g)s2r)2g(). 两端同乘以6->0，有 25)8)2f)2立(G) 令n→o,注意到函数f产(x)、g2x)和fx)gx)在区间【a,b]上的可积 性 以及函数①(x)=x2的连续性，就有积分不等式 cds 证法二：（用判别式法）对任何实数1，有(f(x)+g(x)≥0， (fx)+g=(r2f2(ax)+g2x)+2 x)g(x)≥0，即 （C(x)达+2Cfx)gx)d+g(x本≥0对任何实数1成 立 即上述关于1的二次不等式的解集为全体实数，于是就有 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 有    = = =         n i n i i i n i aibi a b 1 1 2 2 2 1 . ) 设 T 为区间 [ a , b ] 的 n 等分分法. 由 Cauchy 不等式 , 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 i 2 i 2 2 i 1  i i   = = =         n i n i n f  g  f  g  , 两端同乘以 0 ( ) 2 2  − n b a , 有 n b a g n b a f n b a f g n i n i i i n i i −  −        −    = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 i 1     , 令 n →, 注意到函数 ( ) 2 f x 、 ( ) 2 g x 和 f (x) g(x) 在区间 [ a , b ] 上的可积 性 以及函数 2 (x) = x 的连续性，就有积分不等式          b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 证法二 ： （ 用判别式法 ） 对任何实数 t ，有 ( ( ) ( )) 0 2 tf x + g x  ， ( ) ( )   + = + +  b a b a tf (x) g(x) dx t f (x) g (x) 2tf (x)g(x) dx 0 2 2 2 2 , 即     +        +      b a b a b a f (x)dx t 2 f (x)g(x)dx t g (x)dx 0 2 2 2 对任何实数 t 成 立. 即上述关于 t 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有